интеграл arccos

[MayorBarbariska]

помогите решить интеграл $\int\arccos\sqrt{x/(x+1)}$ dx. уже все замены перепробовал, ничего путного не выходит.

[ewert]

В любом случае надо проинтегрировать по частям, а там уж совсем просто получится.

[Klad33]

Да, по частям просто. Навскидку такое получим

$I=x\cdot \arccos {\sqrt{\frac{x}{x+1}}}-\arctg{\sqrt{x}}+\sqrt{x}+C $

Но проверить путем дифференцирования нет времени...

[samson4747]

Посчитал по частям получил какое то ужасное выражение: $\dfrac{\sqrt{\dfrac{x}{(x+1)^2}}(x+1)(\sqrt x-\arctg\sqrt x)}{\sqrt x}+x\arccos\sqrt{\dfrac{x}{x+1}}+C$

[ewert]

Откуда страсти-то такие?... После интегрирования по частям там останется очень простой интеграл $\int\frac{x}{(x+1)^{3/2}}\,dx$.

[Someone]

Дык, это смотря как интегрировать... При интегрировании по частям вариантов много.

[ewert]

Если интегрировать по частям сразу (а это напрашивается), то без вариантов. И в любом случае никаких арктангенсов появиться не может, раз уж их там нет.

[samson4747]

ewert в сообщении #535148 писал(а):

Если интегрировать по частям сразу (а это напрашивается), то без вариантов. И в любом случае никаких арктангенсов появиться не может, раз уж их там нет.

Возьмите производную от моего ответа и получите подынтегральную функцию... а арктангенс получился из арккосинуса...

[Andrew Gubarev]

samson4747, $\sqrt{\frac{x}{1+x}}$ определен при $-\infty<x<-1$ и $x> 0$, при отрицательных $x$ корень будет больше 1, и, следовательно, $\arccos$ не определен. Т. обр. первообразную нужно найти для положительных $x$. При таких $x$ большая часть корней в Вашем ответе сокращается. Ответ правильный, только такое нагромождение корней, обычно, получают, если не упрощают результаты, полученные пакетом символьной алгебры; при ручном счете такое очень трудно получить.

[samson4747]

Andrew Gubarev

Всё почти правильно говорите, ответ не упрощён(окончательно не писал, так как читал в правилах что то типо того что нельзя сразу ответ писать), этот пример у меня решён за I курс в тетради, 2 способами, выбрал способ как предлагает автор вопроса, второй способ через замену $t^2=1-\dfrac{1}{x+1}$, потом по частям и получим выражение вида: $\dfrac{\arccos{}t}{1-t^2}$ плюс табличный интеграл, осталось вернуться к преждней переменной.