Тригонометрическое уравнение

[acme]

Помогите, пожалуйста, решить следующее уравнение:
$\sqrt{5\sin(x)+\cos(2x)} = -2\cos(x)$ (1)
Вот мой ход размышления:
Из данного уравнения видно, что $\sqrt{5\sin(x)+\cos(2x)} \ge 0$, откуда
$ \\ 5\sin(x)+\cos(2x) \ge 0 \\ 5\sin(x)-\sin^2(x)+\cos^2(x) \ge 0 \\ 5\sin(x)-\sin^2(x)+1-\sin^2(x) \ge 0 \\ 2\sin^2(x)-5\sin(x)-1 \le 0 \\ ... \\ \sin(x) \in [\frac{5-\sqrt{33}}{4} ; 1] $
Что делать дальше, чтобы получить конечный ответ для уравнения (1)?
Заранее благодарю!

[a_nn]

Все это можно было как раз и не делать...
Надо как-то избавиться от корня.

[kw_artem]

сразу могли бы в квадрат возвести обе части возвести и решать
(решая таким образом, не забудьте о том что правая часть уравнения положительна)

[acme]

a_nn в сообщении #534726 писал(а):

Все это можно было как раз и не делать...
Надо как-то избавиться от корня.

kw_artem в сообщении #534728 писал(а):

сразу могли бы в квадрат возвести обе части возвести и решать
(решая таким образом, не забудьте о том что правая часть уравнения положительна)

Но ведь, если возвести обе части уравнения (1) в квадрат, то мы потеряем минус в "$-2cos(x)$".
Будет ли это возведение в степень верным действием?

[kw_artem]

конечно, вы решите, а потом вам нужно будет исключить некоторые точки из решения, которые не удовлетворяют "$-2\cos x$"

-- 04.02.2012, 00:20 --

понятно, что-нибудь?

[acme]

kw_artem в сообщении #534733 писал(а):

конечно, вы решите, а потом вам нужно будет исключить некоторые точки из решения, которые не удовлетворяют "$-2\cos x$"

-- 04.02.2012, 00:20 --

понятно, что-нибудь?

Не считайте меня "непросвещенным" - конечно, понятно.

[ewert]

acme в сообщении #534729 писал(а):

Будет ли это возведение в степень верным действием?

Поскольку корни ожидаются, вообще говоря, не вполне тривиальными (мне лень считать, какими конкретно) -- надо честно выписать требование неотрицательности правой части и в дальнейшем по нему найденные потом корни отбраковывать; это легко. А вот неотрицательности подкоренного выражения слева требовать (как тут уже указывали) не нужно -- она автоматически будет обеспечена после возведения в квадрат. С нахождением собственно корней проблем, надеюсь, не будет.

[kw_artem]

kw_artem в сообщении #534733 писал(а):

нужно будет исключить некоторые точки из решения, которые не удовлетворяют ""

для этого нужно решить неравенство , ведь как вы сами писали, корень положителен или равен нулю, а значит и положительна или равна нулю правая часть с косинусом. и повторяюсь, когда решите неравенство, вы получите интервал "разрешенных иксов", останется только посмотреть в что из решения возведенного в квадрат уравнения туда войдет -- это и будет ответ

-- 04.02.2012, 00:34 --

acme в сообщении #534736 писал(а):

Не считайте меня "непросвещенным" - конечно, понятно.

Это хорошо, просто хочется как можно понятней объяснить :))

[acme]

Уравнение решено!
Всем спасибо за помощь!

...
Theme is closed by topic starter