Компактность оператора

[MASHA67]

Компактен ли оператор $Ax(t)=\int_{0}^{1}(cost)x(t)$ в $L^2[0,1]$?

[hippie]

А по какой переменной берётся интеграл?

По $t$ не может, т.к. переменная $t$ присутствует и в левой части, вне интеграла.
А по другой переменной получается оператор умножения, который не может быть компактным:
$Ax(t)=\cos t\cdot x(t).$ Только непонятно, при чём здесь интеграл.

[ewert]

hippie в сообщении #534629 писал(а):

А по другой переменной получается

А никакой другой переменной там, кстати, и нет. И, кстати, левая часть бессмысленна сама по себе, даже независимо от правой.

Вот так всегда: патологическая безграмотность записи лишает смысла какое бы то ни было дальнейшее обсуждение.

[MASHA67]

Прошу прощения! Задача правильно звучит так: компактен ли оператор $Ax(t)=(cost)x(t)$ в $L^2[0,1]$?

[ewert]

Всё равно никуда не годится. Скобочки путаются, роятся без особого смысла как мошкара в прелестную летнюю ночь и только отвлекают от содержания задачи.

Надо хотя бы так: $y=Ax\ \Leftrightarrow\ y(t)=\cos(t)\cdot x(t)$ (это если я, конечно, правильно телепатировал).

Тогда всё очевидно: для данного промежутка этот оператор ограниченно обратим и, следовательно, с компактностью всё ясно. (Для бОльшего промежутка было бы чуть сложнее, т.е. потребовалась бы ещё пара заклинаний.)

[MASHA67]

А как доказать , что оператор ограничен и обратим?

[ewert]

MASHA67 в сообщении #534725 писал(а):

А как доказать , что оператор ограничен и обратим?

Тупо: косинус положителен и при этом ограничен положительной константой как сверху, так и снизу.

[MASHA67]

А обратимость причем?

[ewert]

Сама по себе и не при чём, но вот ограниченная обратимость означает, что образ любого шара содержит в себе некоторый шар. А с компактностью шара всё ясно.