"Почти" гипотеза Эйлера

[kw_artem]

(Оффтоп)

Ага спасибо

-- 03.02.2012, 21:47 --

по-моему для +8 реально доказать несуществование решений . сейчас напишу
доказательство неверно. для $f^6+8$ никак не доказывается

[alexo2]

Прошу прощения - Интернет глючит Так вот:
Возможные сочетания:

1+1+1+1+1=1+4 или 9+5 (т.е., числа 4 и 5 исключаются)
1+1+1+1+9=1+3 или 9+4 (т.е., числа 3 и 4 исключаются)
1+1+1+9+9=1+2 или 9+3 (т.е., числа 2 и 3 исключаются)
1+1+9+9+9=1+1 или 9+2 (т.е., числа 1 и 2 исключаются)
1+9+9+9+9=1+0 или 9+1 (т.е., числа 0 и 1 исключаются)
Соответственно остаются числа с однозначной невозможностью сочетаний и следовательно достаточным условием - 6, 7, 8.

-- 03.02.2012, 22:10 --

Точно! Забыл ещё одно сочетание

9+9+9+9+9=1+8

Так что 8 действительно -

Но все равно, гипотеза Эйлера для 6-ой степени справедлива как минимум для 2/9 всего числового ряда Можно так утверждать?

[kw_artem]

alexo2 в сообщении #534662 писал(а):

Так что 8 действительно -

кстати, отсюда еще не следует что решение при +8 существует

-- 03.02.2012, 22:18 --

alexo2 в сообщении #534662 писал(а):

Можно так утверждать?

нет, и все по той же причине

-- 03.02.2012, 22:26 --

зато так для интереса можно провести оценку для гипотезы Эйлера 6 пор.
1)если $f$ делится на 3, то все из 5ти чисел будут делиться на 3
2)если нет, то только одно из 5ти не будет делиться на три

[alexo2]

Да, я сейчас и пытаюсь провести такую оценку. Пока со скрипом ...

-- 03.02.2012, 23:04 --

То есть в общем случае:
$a^6+b^6+c^6+d^6+e^6=f^6+x$
не имеет решений при $x=6+9n$ и $x=7+9n$, при любых натуральных n.

[alexo2]

Размышления на тему...
Свободные члены -3 и -2 видимо, варианты $+6$ и $+7$.

[alexo2]

kw_artem в сообщении #534667 писал(а):

alexo2 в сообщении #534662 писал(а):

Так что 8 действительно -

кстати, отсюда еще не следует что решение при +8 существует

-- 03.02.2012, 22:18 --

alexo2 в сообщении #534662 писал(а):

Можно так утверждать?

нет, и все по той же причине

-- 03.02.2012, 22:26 --

зато так для интереса можно провести оценку для гипотезы Эйлера 6 пор.
1)если $f$ делится на 3, то все из 5ти чисел будут делиться на 3
2)если нет, то только одно из 5ти не будет делиться на три

Размышляя об оценке:
1) Предположу, что на любом конечном отрезке числовой прямой количественная оценка верности утверждения равна отношению количества проверок возможных сочетаний с исключением известных ограничений к количеству всех возможных проверок (т.е., простой последовательный перебор)
2) Так как количество возможных сочетаний имеет факториальную зависимость, то в случае, если ограничения не имеют факториальной зависимости, то и отношения факториалов также будут содержать в том числе и факториальную зависимость.
3) По теме - здесь количество ограничений на любой произвольно взятый отрезок числовой прямой - величина постоянная, а, следовательно, количественная "оценка верности" будет непосредственно "факториально" зависеть от "места" отрезков равной длины на числовой прямой. Причем, со сдвигом в сторону увеличения будет сильно (по факториальному закону) уменьшаться.
Например для отрезков равной длины от 0 до 100 и от 100 до 200 (проверьте пожалуйста предыдущие пункты, если направление мышления правильное, тогда буду считать для нашего конкретного примера)...

[kw_artem]

Вы про что говорите про общий случай или конкретно про уравнение Эйлера?

-- 04.02.2012, 11:54 --

kw_artem в сообщении #534836 писал(а):

оценка верности утверждения

какого утверждения?

-- 04.02.2012, 12:07 --

если вы имеете в виду уравнение 6-ой степени в общем случае, то да действительно уравнение не имеет решений для 2/9 числового ряда. только не пойму какую вы оценку выше проводите, оценку чего и откуда взялись сочетания -- напишите поподробней и попонятней пожалуйста

[alexo2]

Я вот о чем. Для общего случая:
1) Имеется некое утверждение для справедливое для конкретного ряда чисел.
2) Делается гипотеза, что данное утверждение справедливо для всех последующих чисел до бесконечности, т.е., оно "абсолютно" справедливо.
3) Доказать полностью для всего бесконечного ряда чисел эту "абсолютную" справедливость на данном этапе не представляется возможным.
4) Однако найдены достаточные доказательства существования правильных решений вплоть до бесконечности, которые строго закономерны.
5) Может, я конечно открываю Америку, но мне кажется должно быть понятие и некой количественной оценки "верности" первоначального утверждения.
6) Мне кажется эта оценка количественно равна отношению сочетаний описанному постом выше.
7) Проецируя на тему обсуждения - до введения ограничений описанных выше, можно было бы сказать "оценка верности утверждения равна 0", после получения ограничений, как минимум на 2/9 это утверждение верно. Так вот такой подход представляется неправильным и оценка будет совсем другой...

-- 04.02.2012, 13:01 --

Просьба к модераторам. А можно перенести эту ветку в раздел "Дискуссионные темы", а то тема уже выходит за рамки ВТФ

[kw_artem]

Все что вы написали до 3п. больше похоже на метод индукции. (в принципе он и есть) А дальше...

alexo2 в сообщении #534853 писал(а):

5) Может, я конечно открываю Америку, но мне кажется должно быть понятие и некой количественной оценки "верности" первоначального утверждения.
6) Мне кажется эта оценка количественно равна отношению сочетаний описанному постом выше.

нет это неверно. все зависит от того какой метод доказательства используется. вы используете доказательство от суммы цифр чисел, что аналогично сравнению по модулю 9, и отсюда вы получили , что при $x=6+9n, and\quad x=7+9n$ решений не существует. Это верно, и я абсолютно согласен с этим выводом. Но для остальных чисел, используя этот же метод, ничего нельзя точно доказать. Критерий верности утверждения -- не поможет, тем более если вы хотите получить абсолютно точное доказательство а не вероятностное. (от которого ни каково толку)
А почему ваш метод не хочет работать для других чисел, поясню. Вы используете метод аналогичный сравнению по остатку. Слева и справа складываются числа и по отдельности делятся на 9, берётся их остаток от деления и сравнивается друг с другом (т.е. слева и справа, чтобы они были одинаковыми естественно). для $x=6+9n, and\quad x=7+9n$ оказывается что равенство не достигается ни при каких числах $a, b, c, d, e, f$, что оказывается достаточным признаком для доказательства несуществования решений. Но для остальных чисел $x$ комбинация чисел $a, b, c, d, e, f$, чтобы остатки слева и справа были равны, существует, и поэтому решение может существовать. и поэтому ваш признак (того что решение не существует) здесь уже становиться необходимым, но не достаточным.

-- 04.02.2012, 13:24 --

alexo2 в сообщении #534853 писал(а):

Просьба к модераторам. А можно перенести эту ветку в раздел "Дискуссионные темы", а то тема уже выходит за рамки ВТФ

Как уже сказал, ваша оценка не более чем вероятностная.

-- 04.02.2012, 13:25 --

Все дело просто в необходимом и достаточном. Разберитесь с этими понятиями.

(Оффтоп)

я сам был неправ когда пытался доказать этим методом что решения нет для $f^6+8$

[alexo2]

Что является необходимым, а что достаточным условием я прекрасно понимаю. На какое-то время я сделаю паузу, за которую попытаюсь сформулировать более прозрачно свои мысли...

-- 04.02.2012, 14:24 --

Основная мысль будет такая: пусть действительно это похоже на вероятностную оценку. Однако мы же можем судить о вероятности наступления некоего события, если таковая трудно считаема или вообще не считаема с помощью вычитания из 1 известных вероятностей его не наступления. То есть подход к вычислениям с "другого боку".
Смысл: находя некие не связанные вроде бы с нашим основным утверждением закономерности (это к вашему утверждению, что от вероятностных оценок "никакого толку"), можно ведь обнаружить и корреляцию между ними. (Эллипт. кривые и модулярные формы )

[kw_artem]

alexo2 в сообщении #534888 писал(а):

Смысл: находя некие не связанные вроде бы с нашим основным утверждением закономерности (это к вашему утверждению, что от вероятностных оценок "никакого толку"), можно ведь обнаружить и корреляцию между ними. (Эллипт. кривые и модулярные формы )

Может быть, но следует признать, что пока идея расплывчата, да и вообще, если продолжать разговор в таком духе -- то это пустой треп; я о том, что нужно идею развить формально, т.е. на математическом языке и уровне, и тогда можно точно посмотреть работает она или нет.

-- 04.02.2012, 14:53 --

Вы попробуйте, посмотрим что из этого выйдет.

[alexo2]

Уже пробую, так что пока - пауза...

[alexo2]

Нашел свою старую тему.. Есть что сообщить, - неожиданное следствие изучаемых мною (открытых мною же ) свойств степенных пространственных форм (см. тему "О ВТФ и не только").
Само свойство заключается оно в том, что если числовое значение разностного кольца имеет в своем разложении множитель в виде точного куба, то тот же сомножитель обязаны иметь и пространственные формы, породившие это разностное кольцо.
А следствие - для показателей степеней вида $36k$, где к - любое натуральное, при количестве слагаемых в той же степени 8 и менее не существует решений в натуральных числах..
Подозреваю, что и для степеней вида 6к тоже самое, однако, здесь это не столь очевидно...

[alexo2]

Да, так и есть - для 6-й степени также не стоит искать решений при количестве слагаемых 8 и менее (В "классической" же формулировке гипотезы Эйлера для 6-й степени решения должны быть уже при количестве слагаемых 6 и более)...

[Someone]

Я не совсем понимаю, что Вы имеете в виду, но уравнение $a^6+b^6+c^6+d^6+e^6=f^6+g^6$ решения в натуральных числах имеет.