Восстановить диф. форму по её образу f*w

[Nimza]

Прошу заранее простить за незнание терминологии (помогите с ней заодно, пожалуйста).

Имеется гладкое многообразие $M = \left\{ x \in \mathbb{R}^n \mid g(x) = 0 \}$ имеющее атлас из одной карты $(M,\varphi)$, где

$$ \begin{array}{rcl} \varphi(x_1,x_2,...,x_n) & =& (x_2,...,x_n), \\ \varphi^{-1}(y_1,...,y_{n-1})& = &(x_1(y),y_1,...,y_{n-1}), \end{array} $$

где $x_1(y)$ это такой $x_1$, что $g(x_1(y),y_1,...,y_{n-1}) = 0$ и $\varphi(M) = \mathbb{R}^{n-1}$.

Есть дифференциальная форма

$$ \omega = \frac{a(x_1(y),y_1,...,y_{n-1})}{\partial_{1} g(x_1(y),y_1,...,y_{n-1})} dy_1 \wedge ... \wedge dy_{n-1} $$

и известно, что $\omega = (\varphi^{-1})^{*}\alpha$. Возможно ли и как найти форму $\alpha$?

[svv]

Поясните, пожалуйста, подробнее конструкцию $\dfrac{a(x_1(y),y_1,...,y_{n-1})}{\partial_{1} g(x_1(y),y_1,...,y_{n-1})}$. Что такое $a$ и $\partial_1$?

[Nimza]

$a(x_1,x_2,...,x_n) \colon \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$ — какая то функция,
$\partial_{1} = \frac{\partial}{\partial x_{1}}$ — дифференцирование по первой координате.

Короче говоря, надо по кодифференциалу формы восстановить форму. Это возможно?

[alcoholist]

В любом случае $\alpha=\varphi^*\omega$

[Nimza]

Получается, что в данном случае $\alpha = \frac{a(x_1,...,x_n)}{\partial_{1} g(x_{1},...,x_{n})} dx_2 \wedge ... \wedge dx_{n}$?

Конечная цель у меня достаточно корыстна: надо записать интеграл как интеграл по многообразию, пользуясь

$$ \int\limits_{M} \alpha = \int\limits_{\underbrace{\varphi(M)}_{\mathbb{R}^{n-1}}} \overbrace{(\varphi^{-1})^{*} \alpha}^{\omega} $$

[alcoholist]

конечно, так и будет, $\omega$ -- это просто запись формы $\alpha$ в данной карте. Ведь $\alpha$ живет не в $\mathbb{R}^n$, а на $M$. На $\mathbb{R}^n$ ее можно продолжить многими способами.