derivative sum

[man111]

$f(x)$ is a function satisfying the following condition....

$f(x)+f ^{'}(x)+f ^{''}(x)+f ^{'''}(x) ...$ upto n terms....$ =  x^n$

where $f ^{'}(x)$ = first derivative of $f(x)$

$f ^{''}(x)$ = 2nd derivative of $f(x)$  and so on....

Find the value of $\displaystyle f(x) +\frac{f^{'}(x)}{1!}+\frac{f^{''}(x)}{2!}+\frac{f^{'''}(x)}{3!}+....$ n-terms =

[a_nn]

Если исходное равенство $2n$ раз продифференцировать, то все хорошо выражается.

(=Derivate original equality $2n$ times...)

[alcoholist]

Можно Лапласом, а можно с помощью полиномиальных

[alcoholist]

$f$ многочлен

тогда он имеет степень $n$ и $f^{(n)}(x)=n!$

вычитаем из первого равенства его производную и получаем $f(x)=x^n-nx^{n-1}+n!$

-- Чт фев 02, 2012 20:33:05 --

искомая функция это $f(x+1)$

[ewert]

alcoholist в сообщении #534302 писал(а):

искомая функция это $f(x+1)$

Не совсем так -- там ведь одного слагаемого не хватает.

Но хуже другое. В условии ведь не сказано, что это именно многочлен. А если это не многочлен, то там, кажется, никакого разумного ответа не получится.

[alcoholist]

ewert в сообщении #534426 писал(а):

В условии ведь не сказано, что это именно многочлен

$f^{(n+1)}(x)$ -- тождественный ноль

ewert в сообщении #534426 писал(а):

Не совсем так -- там ведь одного слагаемого не хватает.

да-да, но это мелочи:) Должно быть

$$ f(x+1)-\frac{f^{(n)}(x)}{n!}=(x+1)^n-n(x+1)^{n-1}+n!-1 $$

[ewert]

alcoholist в сообщении #534456 писал(а):

$f^{(n+1)}(x)$ -- тождественный ноль

С какой стати-то?... В условии про это -- ни словечка, общее же решение того дифура будет включать в себя разные там экспоненты с косинусами и т.д.

[alcoholist]

н-да...