проблема с решением УРЧП-а. (метод Фурье)

[molokain]

Доброе время суток.
Необходимо решить следующую задачу:

$u_{tt} = u_{xx} + 2u_{x} - 7u$
$u|_{x=0} = t $ $u_{x}|_{x=\pi} = 0$
$u|_{t=0} = 0 $ $u_{t}|_{t=0} = \cos2x$

Вариант 1.
попробовал сразу же избавиться от $2u_{x}$ заменой $u = e^{-\frac x {2}} \cdotv$
в таком случае получается задача
$v_{tt} = v_{xx} - \frac {27} {4}v$
$v|_{x=0} = t$ $(v_{x} - \frac 1 {2}v)|_{x=\pi} = 0$
$v|_{t=0} = 0$ $v_{t}|_{t=0} = e^{-\frac x {2}}\cos2x$
второе граничное условие получается неудобным (сейчас скажу почему)

значит, избавляюсь от граничных условий, прибавляя некоторую f(t,x). Пересчитываю условия. далее разбиваю на две задачи - с f(t,x) и нулевыми условиями и без f(t,x) с родными условиями. ищу решение последней задачи в виде w(t,x) = T(t)X(x). однако при поиске собственных значений $\lambda$ из диффура на X(x) возникает проблема. а именно с этим неудобным граничным условием. оно вкупе с первым граничным условием дает $\tg{\sqrt\lambda\cdotv\pi} = 2\sqrt\lambda$, явное решение оного найти (вроде как) нельзя, поэтому тупик.

Вариант 2.
не обращаю внимание на разнообразие производных в условии, решаю "в лоб".
Произвожу все стандартные операции (избавляюсь от граничных условий, разбиваю на две задачи, нахожу общее решение). На последнем шаге (решение задачи с f(x,t)) возникает проблема. А именно: уже известны собственные значения ряда фурье, поэтому ищу решение в виде ряда $\sum {T_{n}(t)\cos{(\frac 1 {4} + n)x}}$. Подставляю в условие. из-за того, что есть и $u_{xx}$ и $u_{x}$ получаются ряды как по косинусам, так и по синусам. И вот здесь начинается каша. Раскладываю свою функцию (а это -7t) в ряд Фурье по этой системе (а косинусы и синусы зависят от икс). Можно ли раскладывать так? по идее да, ведь ортонормированная система это $\{1,\cos{nx},\sin{nx}\}$. Но в таком случае получаю коэффициенты при синусе и косинусе. приравниваю и те, и другие (в разложении f(t,x) и в левой части, то бишь в уравнении исходном). получаю, что эта система совместна лишь при t=0. что все это может значить?

[molokain]

‡