К проблеме сингулярностей

[aklimets]

Одной из трудностей общей теории относительности (ОТО) является проблема сингулярностей, которая фактически возникла с момента получения Фридманом нестационарных космологических решений уравнений ОТО и еще более обострилась в связи с задачей о релятивистском гравитационном коллапсе.
Сингулярность обозначает состояние бесконечной плотности материи, что свидетельствует о недостаточности ОТО. В космологии наиболее сложна проблема начальной сингулярности (начала расширения Вселенной), для описания которой физике не хватает традиционных средств. Попытка Д.И. Блохинцева в этом направлении (Доклады Академии наук СССР, 1976, т.229, № 1) состоит во введении пространства высокой размерности, большей чем 3, в котором столкновение ультрарелятивистских частиц может породить, в смысле квантовой теории, нашу четырехмерную Вселенную.
Проанализируем эту идею многомерности с математической точки зрения. Каким образом мы могли бы разместить пространство любой протяженности в “точке” с линейным размером $l$ ? Рассмотрим простой пример. Возьмем тонкую одномерную нить длиной $R_1$. Толщиной нити можно пренебречь. Из этой нити можно соткать плоский двумерный коврик с радиусом $R_2$ или же свернуть в небольшой трёхмерный клубок с радиусом $R_1$, причём ясно, что

$$ R_1 > R_2 > R_3 $$

Аналогичным образом можно рассмотреть, например, книгу, 3-мерный объект. Количество информации в виде букв занимает в книге объем $V$. Пусть это же количество информации необходимо разместить в 2-мерном пространстве, т.е. на плоскости. В виде строк информация займет площадь $S$ со стороной квадрата $a(2)$. Ясно, что $a(2) > a(3)$, где $a(3)$ - сторона 3-мерного куба, изображающего книгу. Это же количество информации, помещенное в одномерное пространство, в виде строки растянется в длину величиной $a(1)$, причем

$$ a(1) > a(2) > a(3)$$

Интуитивно ясно, что при увеличении числа измерений пространства для одного и того же количества информации (или вещества нити) нам потребуется $n$-мерный объем со все меньшей стороной $a(n)$ соответствующего $n$-мерного “куба”, то есть

$$ a(1) > a(2) >… > a(k) >….a(n) $$

Нетрудно показать, что $a(n)$ и $a(k)$ связаны следующим соотношением

$$a(n) = a(k)^{k/n}………(1)$$

Действительно, (1) следует из равенства количества ("объема") информации (вещества) в том или ином $n$-мерном пространстве

$$V(1) = V(2) = … = V(k) = … = V(n) …….(2)$$

И так как

$$ V(1) = a(1)^1, V(2) = a(2)^2, …, V(k) = a(k)^k, … V(n) = a(n)^n $$

то из (2) и следует (1).
Для 3 - мерного пространства из (1) получим следующее соотношение

$$a(n) = a(3)^{3/n}…….(3)$$

Из соотношения (3) следует интересный вывод. Предположим, нам необходимо разместить всю наблюдаемую Метагалактику вместе с веществом в элементарном $n$ - мерном “кубике” со стороной, равной величине планковской единице длины $l_{pl}= 10^{-33}cm$ Сколько измерений пространства нам для этого потребуется?
Размер наблюдаемой Метагалактики равен $10^{28}cm$, или, в единицах планковской длины, $10^{28}cm / 10^{-33}cm = 10^{61}l_{pl}$. Из соотношения (3) имеем

$$10^1 l_{pl} = (10^{61}l_{pl})^{3/n}…….(4)$$

Из (4) видно, что уже при 183-х измерениях пространства всю наблюдаемую Метагалактику можно разместить в 183-мерном “кубике” со стороной, равной $10^{-33}cm$, то есть фактически в «точке» (183-мерной). Причем плотность вещества в таком «кубике» останется равной плотности вещества, находящегося в 3-мерном пространстве наблюдаемой Метагалактики.
Действительно, плотность вещества в $n$-мерном пространстве определяется следующим образом:

$$r(n) = M/V(n)$$

где $M$ - масса вещества наблюдаемой Метагалактики, $V(n)$ - объем $n$-мерного пространства, $r(n)$ - плотность вещества в $n$ -мерном пространстве. И так как, по условию, $V(3) = V(183)$, то и $r(3) = r(183)$.
Можно предположить, как один из вариантов, что сингулярная “точка”, из которой, согласно ОТО, возникла наша Метагалактика, была многомерной
Можно также предположить, что при коллапсе черной дыры вещество в сингулярности чёрной дыры “выдавливается” в иные измерения пространства на расстояния по крайней мере порядка планковской длины.

[Парджеттер]

Ересь. Переносится в пургаторий.

[Утундрий]

Чем-то похоже на упражнения Ороса ди Бартини. И на том же уровне, кстати.