Функция и касательная к её графику

[Sigurd]

Доброго времени суток.

Я практикуюсь на различных экзаменационных заданиях и хотел бы, чтобы вы проверили ход моего решения.

Дана функция $f(x) = x^2 - 8\ln x + a$
Одно из заданий звучит следующим образом: составьте уравнение касательной к графику данной функции в точке, где она пересекается с линией $y = x^2 + a$.
Итак, у нас есть две линии, выраженные функциями. Очевидно, что они пересекаются в точке, через которую проходит касательная к линии $f(x)$. По идее, составив систему уравнений, мы сможем найти абсциссу точки пересечения, она же будет являться и абсциссой точки касания.
Тогда $x^2-8\ln x+a=x^2+a$, откуда $x = 1$
Возьмём теперь формулу уравнения касательной $f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$ и начнём составлять уравнение нашей касательной.
Я начал с производной: $f'(x) = (x^2-8\ln x+a)' = (x^2)' - (8\ln x)' + (a)' = 2x - \frac8x$ . Член $a$ можно расценить как константу, производная которой есть нуль.
Теперь подставим абсциссу точки касания в производную функцию: $f'(1) = 2-8=-6$. Тем самым мы получаем угловой коэффициент касательной.
Находим ординату точки касания: $f(1) = 1^2 - 8\ln 1 + a = 1-8\cdot0+a= 1+a$
И, наконец, подставляем всё это дело в формулу касательной: $(1+a)-6(x-1) = -6x+7+a$

Верно ли?

[myra_panama]

Sigurd в сообщении #532904 писал(а):

Возьмём теперь формулу уравнения касательной $f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$

Правильно ли написали формулу, что то упустили...........

[PAV]

Sigurd
обратите внимание на то, как следует набирать логарифм.

[Someone]

Sigurd в сообщении #532904 писал(а):

уравнения касательной $f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$

Не вижу уравнения. Уравнение, как известно, имеет две части - левую и правую, а между ними - знак равенства.

[Sigurd]

Someone в сообщении #533022 писал(а):

Уравнение, как известно, имеет две части - левую и правую, а между ними - знак равенства.

...да, недочёт. Тогда так: $y = f(x_0) + f'(x_0)(x-x_0)$

PAV в сообщении #532950 писал(а):

обратите внимание на то, как следует набирать логарифм

...вы имеете в виду ввод символа логарифма в формуле? Если да, то: $f(x) = x^2-8 \ln x + a$

[Sonic86]

А в целом вроде все верно.

[Sigurd]

Sonic86 в сообщении #533053 писал(а):

А в целом вроде все верно

...хорошо, тогда по поводу области определения данной функции. Можно предположить, что область определения данной функции будет зависеть от области определения натурального логарифма, который присутствует в выражении. А область определения последнего - это все положительные числа.
Тогда можно записать следующим образом: $X = (0; +\infty)$
Верна ли подобная запись? Это т.н. открытый интервал, в котором нуль не входит в множество значений.

[Sonic86]

Sigurd в сообщении #533188 писал(а):

Можно предположить, что область определения данной функции будет зависеть от области определения натурального логарифма, ...
Тогда можно записать следующим образом: $X = (0; +\infty)$

Да, только я бы писал $D(f)=(0; +\infty)$ - так не надо думать о том, а что же такое $X$

[Sigurd]

Sonic86, кстати, а область значений тогда обозначается как $E(f)$?

Настало время для заключительного задания. Оно звучит так: при каких значениях a данная функция положительна во всей своей области определения.
Иными словами, необходимо подобрать такие a, чтобы множество Y было всегда положительным. Рассуждаем так, что перед нами своего рода парабола, ветви которой направлены вверх. Она может пересекать ось абсцисс, уходя в отрицательность. Появилась идея найти локальный экстремум, который будет минимумом, и затем поднять его с помощью значения a так, чтобы он не уходил в минус.
Находим тогда абсциссу локального экстремума через уравнение производной: $2x-\frac8x=0$, корни которого будут 2 и -2
Второй корень не удовлетворяет области определения нашей функции.
Подставляем первый корень в функцию: $f(2) = 2^2-8 \ln 2+a = 4-8 \ln2+a$, откуда $a=8 \ln2-4$
Таким образом с помощью такого значения a мы можем "нейтрализовать" отрицательность функции.
Можно записать, что функция будет положительна при $8 \ln2-4 < a < +\infty$
Возможно, что пойдёт и такая запись: $a = (8 \ln2-4; + \infty)$
Что вы думаете по поводу такого решения?

[Sonic86]

Sigurd в сообщении #533266 писал(а):

а область значений тогда обозначается как $E(f)$?

Угу

Sigurd в сообщении #533266 писал(а):

Возможно, что пойдёт и такая запись: $a = (8 \ln2-4; + \infty)$
Что вы думаете по поводу такого решения?

Решение правильное, только пишут $a \in (8 \ln2-4; + \infty)$, но это мелочь.

[Sigurd]

Sonic86 в сообщении #533298 писал(а):

Решение правильное

...отлично, благодарю за внимание.