График непрерывной функции

[Ktina]

Может ли график непрерывной функции $ f :\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R} $ пересекать каждую невертикальную прямую бесконечное число раз? Если да, то обязано ли это бесконечное число быть счётным?

[ewert]

Ktina в сообщении #532624 писал(а):

Может ли график непрерывной функции $ f :\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R} $ пересекать каждую невертикальную прямую бесконечное число раз?

Естественно, может.

Ktina в сообщении #532624 писал(а):

обязано ли это бесконечное число быть счётным?

А с какой стати?... В конце-то концов, эта функция может быть просто тождественным нулём.

[Ktina]

ewert в сообщении #532630 писал(а):

Ktina в сообщении #532624 писал(а):

Может ли график непрерывной функции $ f :\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R} $ пересекать каждую невертикальную прямую бесконечное число раз?

Естественно, может.

Ktina в сообщении #532624 писал(а):

обязано ли это бесконечное число быть счётным?

А с какой стати?... В конце-то концов, эта функция может быть просто тождественным нулём.

Сколько раз тождественный нуль пересекает прямую $y=x$?

[ewert]

Ktina в сообщении #532632 писал(а):

Сколько раз тождественный нуль пересекает прямую $y=x$?

Не знаю (и знать не хочу). Сколько раз он пересекает прямую $y=0$?

Сформулируйте второй вопрос так, чтобы он имел точный смысл.

[Ktina]

ewert в сообщении #532634 писал(а):

Ktina в сообщении #532632 писал(а):

Сколько раз тождественный нуль пересекает прямую $y=x$?

Не знаю (и знать не хочу). Сколько раз он пересекает прямую $y=0$?

Сформулируйте второй вопрос так, чтобы он имел точный смысл.

...каждую невертикальную прямую...

[ewert]

Ktina в сообщении #532635 писал(а):

...каждую невертикальную прямую...

Что каждую?... что вообще такое -- "это число"?... Допустим он одну прямую пересекает десять раз, вторую -- бесконечное количество раз, третью же и вовсе не пересекает. Ну и чему равно это "это"?...

Сформулируйте вопрос так, чтобы он имел точный смысл.

[Ktina]

ewert в сообщении #532638 писал(а):

Ktina в сообщении #532635 писал(а):

...каждую невертикальную прямую...

Что каждую?... что вообще такое -- "это число"?... Допустим он одну прямую пересекает десять раз, вторую -- бесконечное количество раз, третью же и вовсе не пересекает. Ну и чему равно это "это"?...

Сформулируйте вопрос так, чтобы он имел точный смысл.

Любая прямая, не являющаяся вертикальной, имеет с графиком искомой функции бесконечно много точек пересечения.

[ewert]

Ktina в сообщении #532641 писал(а):

Любая прямая, не являющаяся вертикальной, имеет с графиком искомой функции бесконечно много точек пересечения.

Я просил сформулировать второй вопрос -- про счётность. Пока что он смысла не имеет.

[mihailm]

$x^2\sin(x)$
это ответ на первый вопрос

[Ktina]

mihailm в сообщении #532644 писал(а):

$x^2\sin(x)$
это ответ на первый вопрос

Можно также доказать, что таких функций бесконечно много (даже целый континуум!). Ваша, к примеру, содержится в семействе $x^{2n\in\mathbb N}\sin(x+a\in\mathbb R)$

А вот второй вопрос поинтересней будет

[ewert]

Ktina в сообщении #532647 писал(а):

что таких функций бесконечно много (даже целый континуум!). Ваша, к примеру, содержится в семействе $x^{2n\in\mathbb N}\sin(x+a\in\mathbb R)$

К чему такие сложности -- достаточно взять просто $a\,x^2\sin x$.

-- Вс янв 29, 2012 15:10:23 --

Ktina в сообщении #532647 писал(а):

А вот второй вопрос поинтересней будет

Возможно. Но для этого его нужно сначала задать. Вы же этого пока что так и не сделали.

[Ktina]

ewert в сообщении #532648 писал(а):

Ktina в сообщении #532647 писал(а):

что таких функций бесконечно много (даже целый континуум!). Ваша, к примеру, содержится в семействе $x^{2n\in\mathbb N}\sin(x+a\in\mathbb R)$

К чему такие сложности -- достаточно взять просто $a\,x^2\sin x$.

Вы правы.
Кстати, всего функций $ f :\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R} $ - больше континуума, а именно $\aleph_2$. Можно ли найти $\aleph_2$ функций, удовлетворяющих данной задаче?

[hippie]

Ответ на второй вопрос: не обязательно.

Сначала строим вспомогательную функцию $f(t)$.

Рассмотрим стандартную кривую Пеано как отображение отрезка $0\le t\le 1$ на квадрат $\{(x;y): 0\le x\le 1\ \&\ 0\le y\le 1 \}$ с началом в точке $(0;0)$ и концом в точке $(1;0).$
Функцию $f(t_0)$ определим как $y$-координату кривой Пеано в точке $t=t_0.$

Функция $f$ определена на отрезке $[0;1]$ и принимает значение $0$ при $t=0$ и $t=1.$

Искомая функция (график которой пересекает каждую невертикальную прямую в континууме точек):

$F(t) = e^{|[t]|}\cdot (-1)^{[t]} \cdot f(\{t\}),$
где
$[t]$ — целая часть $t;
\{t\}$ — дробная часть $t.$

Ktina в сообщении #532650 писал(а):

Кстати, всего функций $ f :\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R} $ - больше континуума, а именно $\aleph_2$. Можно ли найти $\aleph_2$ функций, удовлетворяющих данной задаче?

Во-первых, количество функций $ f :\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R} $ равно $\aleph_2$ только в предположении обобщённой континуум-гипотезы. (Без континуум-гипотезы континуум может быть и равен и больше $\aleph_2$. В предположении обычной, но не обобщённой, континуум-гипотезы хотя $c=\aleph_1,$ может оказаться, что $2^c>\aleph_2.$)

Во-вторых, в задаче речь идёт о непрерывных функциях $ f :\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R} $, а их ровно континуум.

[Ktina]

hippie, во-первых, у Вас очень красивое решение.

А во-вторых, ...

hippie в сообщении #532670 писал(а):

Во-вторых, в задаче речь идёт о непрерывных функциях $ f :\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R} $, а их ровно континуум.

...если не секрет, почему?
В смысле, почему ровно континуум?

[wallflower]

Ktina в сообщении #532679 писал(а):

В смысле, почему ровно континуум?

Непрерывные функции достаточно задать в рациональных точках. А функций $\mathbb Q\to\mathbb R$ континуум штук ($\mathfrak c^{\aleph_0}=2^{\aleph_0\times\aleph_0}=2^{\aleph_0}=\mathfrak c$).