Распределение отношения двух независимых дискретных величин

[Joexel]

Доброго времени суток!
Столкнулся с такой задачей:
На отрезке $[a, b]$ задана неотрицательная равномерно распределенная целочисленная случайная величина $\xi$.
Теперь на отрезке $[0, {\xi}]$ задается неотрицательная равномерно распределенная целочисленная случайная величина $\eta$. Случайные величины независимы. Необходимо найти распределение случайной величины $Z = \frac{\eta}{\xi}$

Проблема заключается в том, что я не представляю (даже примерно) как найти это распределение. В случае с непрерывными величинами берется двойной интеграл от произведения плотностей каждой и считается (на форуме есть такой пример). Но как быть с дискретными величинами. Нагуглил, что если смоделировать этот процесс получим след. фрактал: http://users.livejournal.com/_winnie/327776.html

[profrotter]

Joexel в сообщении #532050 писал(а):

на отрезке $[0, {\xi}]$ задается неотрицательная равномерно распределенная целочисленная случайная величина $\eta$. Случайные величины независимы.

Независимы ли?

[ShMaxG]

Joexel в сообщении #532050 писал(а):

Проблема заключается в том, что я не представляю (даже примерно) как найти это распределение.

Начните с определения и, например, формулы полной вероятности.

$\[{\mathbf{P}}\left( {Z = z} \right) = {\mathbf{P}}\left( {\frac{\eta }{\xi } = z} \right) = \sum\limits_{i \in \mathbb{Z}} {{\mathbf{P}}\left( {\frac{\eta }{\xi} = z|\xi = i} \right)} {\mathbf{P}}\left( {\xi = i} \right)\]$

В итоге получите сумму по двум индексам, на которых наложены некоторые условия, произведений соответствующих вероятностей.

[Joexel]

profrotter в сообщении #532060 писал(а):

Независимы ли?

По условию задачи сказано так.

ShMaxG в сообщении #532064 писал(а):

Начните с определения и, например, формулы полной вероятности.

$\[{\mathbf{P}}\left( {Z = z} \right) = {\mathbf{P}}\left( {\frac{\eta }{\xi } = z} \right) = \sum\limits_{i \in \mathbb{Z}} {{\mathbf{P}}\left( {\frac{\eta }{\xi} = z|\xi = i} \right)} {\mathbf{P}}\left( {\xi = i} \right)\]$

В итоге получите сумму по двум индексам, на которых наложены некоторые условия, произведений соответствующих вероятностей.

До этого я догадался. В общем, поскольку с.в. равномерно распределены, то $\mathbf{P} (\xi = i) = \frac{1}{b - a + 1}$
Дальше получаем $\mathbf{P}\left(\frac{\eta}{\xi}=z\right)=\frac{1}{b - a + 1}\right \sum\limits_{i = a}\limits^{b}{{\mathbf{P}}\left( {{\eta }={\xi}z|\xi = i} \right)} $

А как посчитать оставшуюся условную вероятность?

[PAV]

Давайте для примера разберем какой-нибудь простой случай. Например, возьмем $a=1$ и $b=2$.

Случайная величина $\xi$ в этом случае с равными вероятностями принимает одно из двух возможных значений $\{1,2\}$.

Если $\xi$ приняла значение $1$, тогда $\eta$ с равными вероятностями принимает одно из двух значений $\{0,1\}$. Если же $\xi=2$, тогда $\eta$ с равными вероятностями принимает одно из трех значений $\{0,1,2\}$.

Безусловное распределение $\eta$ получается как смесь данных двух условных распределений с равными весами $\frac12$. Таким образом, $\eta$ принимает одно из трех значений со следующими вероятностями:

$$ \Pr(\eta=0)=\Pr(\eta=1)=\frac{5}{12},\quad \Pr(\eta=2)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6} $$

Распределение $\eta$ несложно записать и в общем виде, для произвольных $a$ и $b$. Однако в задаче спрашивается про распределение отношения $\frac{\eta}{\xi}$, и здесь уже все выглядит сложнее. Точно так же, как и выше, мы получаем, что имеется два условных распределения этого отношения: в первом случае оно принимает с равными вероятностями одно из двух значений $\{0,1\}$, а во втором случае - одно из трех значений $\{0,\frac12,1\}$. Безусловное же распределение выходит таким:

$$ \Pr(\frac\eta\xi=0)=\Pr(\frac\eta\xi=1)=\frac{5}{12},\quad \Pr(\frac\eta\xi=\frac12)=\frac{2}{12}=\frac{1}{6} $$

В общем виде здесь кажется все получается достаточно сложно. Вылезают всякие теоретико-числовые вопросы о равенстве дробей после сокращения.

[Joexel]

PAV, спасибо Вам огромное! :)

Вроде бы получил общую формулу для распределения $\eta$ для произвольного отрезка $[a, b]$.

$$P(\eta = i) = \frac {1} {b - a + 1} \sum \limits_{k = \max (i, a)} \limits^ {b} \frac {1} {k + 1}$$

То есть при условии $i \leq a$ получаем формулу: $P(\eta = i) = \frac {1} {b - a + 1} \sum \limits_{k = a} \limits^ {b} \frac {1} {k + 1}$, если же $i > a$, то в нижний индекс подставляем $k = i$.

Есть следующая идея: написать программу, которая считает распределение $\frac {\eta} {\xi}$: из отношения $\frac {\eta} {\xi}$ получаем несократимую дробь.

1) Для каждой несократимой дроби считаем относительную частоту появления и строим эмпирическую функцию распределения
2) Если попытаться построить некое подобие гистограммы, где высота "столбика" для каждой дроби зависит от относительной частоты
появления... то вроде бы должен получиться такой фрактал: http://users.livejournal.com/_winnie/327776.html

PAV, Не знаете случаем, как аналитически посчитать распределение $\frac {\eta} {\xi}$?

[PAV]

Joexel в сообщении #532269 писал(а):

Не знаете случаем, как аналитически посчитать распределение $\frac {\eta} {\xi}$?

Не думал об этом. Сходу ничего очевидного в голову не пришло.