Пределы

[Limit_w]

Помогите, пожалуйста, разобраться в решении двух пределов.

1) $\lim\limits_{x \rightarrow 2} \frac {\sqrt[3]{x-6}} {x+2}+2$

Как будет правильнее вычислить этот предел?
У меня такие варианты:
а) Написать, что функция не определена ни в данной точке, ни в ее окрестности -
поэтому предела не существует.

б) Либо решить вот так:
$\lim\limits_{x \rightarrow 2} \frac {\sqrt[3]{x-6}} {x+2}+2 = \frac {\sqrt[3]{2-6}} {2+2}+2= \frac {\sqrt[3]{-4}} {4}+2= \sqrt[3]{\frac{-4}{64}} +2= \sqrt[3]{\frac{-1}{16}} +2= \frac{1}{2}\sqrt[3]{\frac{-1}{2}} +2$
И написать, что это ответ на множестве комплексных чисел.

Как будет правильнее?

2) $\lim\limits_{x \rightarrow 0} (e^x+e^{-x}-2)\cdot(ctg(x))$

Я решил вот так вот:
Так как:
$\lim\limits_{x \rightarrow 0} (e^x+e^{-x}-2)=0$
и
$\lim\limits_{x \rightarrow 0} (ctg(x))=\infty$
То из этого следует, что:
$\lim\limits_{x \rightarrow 0} (e^x+e^{-x}-2)\cdot(ctg(x))=0$
Будет ли такое решение правильным?

Заранее спасибо за ответы.

[kw_artem]

Функция определена в точке $x=2$, знаменатель в ноль не обращается при этом значении

-- 26.01.2012, 15:12 --

в первом, правильно второе решение

[ИСН]

Вы, Limit_w, когда предел $x\over x$ считаете, получается таким же образом 0?
В первой тоже пересмотрите свои взгляды на базовые понятия (корень, например).

[Limit_w]

kw_artem
Т.е. в $\sqrt[3]{x-6}$, $x$ может быть любым?

Смутило то, что вольфрам показывает комплексное число:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=%2 ... 281%2F3%29

[kw_artem]

во втором примере у вас неопределенность вида $0 \cdot \infty$

-- 26.01.2012, 15:19 --

Limit_w в сообщении #531518 писал(а):

kw_artem
Т.е. в , может быть любым?

нет $x$ не может быть равным $-2$, но это неважно т.к. предел у вас "икс стремиться к двум"

[Limit_w]

ИСН
Нет, в $\frac{x}{x}$ не так. А как тогда решить второй номер?

-- 26.01.2012, 15:21 --

kw_artem
А как разрешить эту неопределенность? Хотя бы подскажите, в какую сторону копать...

[kw_artem]

Во втором скорее всего правило лопиталя.но перед тем как его применить нужно выражение представить в виде дроби. сейчас сам посмотрю

[Limit_w]

Ах да, насчет кубического корня из отрицательного числа: в некоторых источниках написано, что он равен действительному числу, в некоторых-же написано, что это будет комплексное число.

Вот поэтому и не знаю, как в 1 номере написать.

[kw_artem]

да,так и есть(второй пример). котангенс запишите через тангенс(получится дробь,где тангенс окажется в знаменателе), потом примените правило Лопиталя. Посчитайте, скажете ответ.

-- 26.01.2012, 15:27 --

Корень кубический из отрицательного числа -- это всегда отрицательное число (если икс действительная переменная, а она у вас такая и есть). Похоже школьную математику забываете

-- 26.01.2012, 15:29 --

kw_artem в сообщении #531525 писал(а):

Корень кубический из отрицательного числа -- это всегда отрицательное число

если сомневаетесь, то мысленно проверьте: делаем наоборот -- от корня кубического переходим к кубу -- и смотрим куб от отрицательного числа действительно дает отрицательное; да. значит все верно.

[Limit_w]

kw_artem
Во втором примере, по правилу Лопиталя получился 0.

Так а в первом тогда как написать: то, что я написал в 1 сообщении в пункте б? и фразу про комплексные числа не писать?

[kw_artem]

да,верно. первый пример--да, и комплексные тут,как сами видели,не причем

[Limit_w]

kw_artem
Все равно не могу понять насчет первого примера, у исходной функции область определение-же от 6 и до + бесконечности. Как тогда можно предел найти, при х стремящимся к 2?

[gris]

Для корней нечётной степени обычно область определения расширяется и на отрицательные числа. Функция доопределяется по нечётности. Как правило, запись корня в форме радикала именно на это и намекает. Хотя степенная функция $x^{1/3}$ не определена для отрицательных чисел.
Это вопрос непринципиальный и зависит от некоторой договорённости. В русскоязычных школьных учебниках и задачниках по матану это правило негласно действует.
У каждого числа, кроме нуля, есть ещё два комплексно-сопряжённых кубических корня.

[Limit_w]

gris
Т.е. в моем 1 примере можно оставить решение из пункта "б", но запись про комплексные числа не писать?

[kw_artem]

вы кубический корень перепутали с квадратным корнем. у квадратного корня (и любой другой корень четной степени )не может быть отрицательным подкоренное выражение, а у кубического (и любой другой корень нечетной степени)--- может.