Уравнения движения в уравнении Эйнштейна(ОТО)

[apv]

Утундрий в сообщении #531322 писал(а):

..не испытываю нужды записывать уравнения движения отдельно, коль скоро они из уравнений поля вывелись. Полностью. Выше.

Да, но в литературе под "уравнениями поля" имеются ввиду уравнения Эйнштейна, Вы же выше как раз показали, что в случае заряженной пыли

Утундрий в сообщении #530813 писал(а):

нам понадобятся также уравнения Максвелла

[Munin]

Утундрий в сообщении #531322 писал(а):

Вообще-то лично я говорю в точности противоположное.

Для одного частного случая. Полностью задействуя особенности этого частного случая. Так что вы говорите то же самое :-)

[Утундрий]

apv в сообщении #531358 писал(а):

Да, но в литературе под "уравнениями поля" имеются ввиду уравнения Эйнштейна

Ох уж эти "тонкие нюансы речи"... К чему столь формальный подход?

Munin в сообщении #531385 писал(а):

Для одного частного случая. Полностью задействуя особенности этого частного случая.

Разумеется, только другого не бывает.

Материя указывает как пространству(-времени) изгибаться, а пространство указывает как материи двигаться.

Первая половина фразы посвящена как раз определению т.э.и. Если этого не сделано, то у нас есть только словечко "материя" и нет никакой модели. Говорить о выводе из столь скудно определенной сущности чего бы то ни было по меньшей мере бессмысленно. Так что любой содержательный случай, в вашей терминологии, "частный".

[Munin]

Утундрий в сообщении #531420 писал(а):

Разумеется, только другого не бывает.

Возьмите лагранжиан полей СМ.

Утундрий в сообщении #531420 писал(а):

Так что любой содержательный случай, в вашей терминологии, "частный".

Да, только ваш вывод работает не в любом частном случае (тогда бы это называлось выполнением в общем случае), а только в одном частном случае.

[epros]

Утундрий в сообщении #531420 писал(а):

Материя указывает как пространству(-времени) изгибаться, а пространство указывает как материи двигаться

Со второй частью фразы я бы не согласился. Хотя возможно, что всё дело только в различиях терминологий. Я бы сказал, что пространство "указывает" не как материи двигаться, а какое из множества возможных движений материи следует именовать "инерциальным". Но это не обязывает материю двигаться инерциально.

[Munin]

epros в сообщении #531431 писал(а):

Со второй частью фразы я бы не согласился.

Эта фраза - образная. Нечего к ней придираться, все её употребляют только в сочетании с формулами ОТО, так что поводов для недопонимания не возникает.

epros в сообщении #531431 писал(а):

Я бы сказал, что пространство "указывает" не как материи двигаться, а какое из множества возможных движений материи следует именовать "инерциальным". Но это не обязывает материю двигаться инерциально.

Вообще, пространство "указывает", какое из множества возможных движений материи имеет минимальный функционал действия. Так что и без инерциального движения всё шоколадно.

[apv]

М-да, содержат ли в себе законы сохранения энергии-импульса $T^{ik}_{;i}=0$ еще и уравнения движения? Причем, под уранениями движения нужно понимать как и уравнения механического движения, так и уравнения движения поля (уравнения поля). Для получения этих "уравнений движения" можна воспользоваться принципом наименьшего действия (далее $\Lambda$ - плотность функции Лагранжа):

$$\delta S=\delta \int \Lambda \left (q, \frac{\partial q}{\partial x^i}\right ) dV dt =0$$

который приводит к следующим "уравнениям движения" :

$$\delta S=\int \left [ \frac{\partial}{\partial x^i} \frac{\partial \Lambda}{\partial q_{,k}} - \frac{\partial \Lambda}{\partial q}\right ] dVdt =0 \Rightarrow \frac{\partial}{\partial x^i} \frac{\partial \Lambda}{\partial q_{,k}} - \frac{\partial \Lambda}{\partial q}\right =0$$

Для получения первых интегралов возьмем производную от $\Lambda$:

$$\frac{\partial \Lambda}{\partial x^i} = \frac{\partial\Lambda}{\partial q} \frac{\partial q}{\partial x^i} + \frac{\partial\Lambda}{\partial q_{,k}} \frac{\partial q_{,k}}{\partial x^i}$$

которую путем преобразований c использованием полученных "уравнений движения" можно привести к виду:

$$\frac{\partial \Lambda}{\partial x^i} = \frac{\partial}{\partial x^k} \left ( q_{,i} \frac{\partial \Lambda}{\partial q_{,k}}{\partial q_{,k}}\right ) $$

и вводя обозначение $T^k_i=q_{,i}\frac{\partial\Lambda}{\partial q_{,k}}-\delta^{k}_i \Lambda$, последнее уравнение можно привести к виду:

$$\frac{\partial T^k_i}{\partial x^k}=0,$$

т.е. закон сохранения величин $T^k_i$

С "механической" точки зрения, как и должно быть, законы сохранения можно получить из уравнений движения, но законы сохранения не есть уравнения движения. Но это в плоском пространсве-времени... в искривленном же пространстве, и даже в просто в криволинейных координатах появляются ковариантная производная ТЭИ. Выражает ли она закон сохранения энергии-импульса? Об этом, как я понял, и дискутировали Munin и epros. Мой же изначальный вопрос теперь можно было бы задать так: "Выражеют ли ковариантная производная ТЭИ еще и "уравнения движения"?" И тут опять начнется... Но у ЛЛ2 опять же с варьированием действия $S=\int \Lambda \sqrt{-g} dV dt $, приводится результат (все тонкости вывода я еще не понял):

$$\delta S =\int T^{k}_{i;k} \xi ^i\sqrt{-g}=0 ,$$

откуда естественно ввиду произвольности $\xi ^i$

$$T^{k}_{i;k}=0.$$

Теперь, если формально сопоставить две вариации действия для случаев прмолинейных и криволинейных координат:

$$\delta S=\int \left [ \frac{\partial}{\partial x^i} \frac{\partial \Lambda}{\partial q_{,k}} - \frac{\partial \Lambda}{\partial q}\right ] dVdt =0 $$

и

$$\delta S =\int T^{k}_{i;k} \xi ^i\sqrt{-g}dVdt=0 $$

то, то что находится под интегралом и есть "уравнения движения". Так/не так ли? Если не так, то возражения могут быть только в справедливости $\delta S =\int T^{k}_{i;k} \xi ^i\sqrt{-g}=0 $

[epros]

apv в сообщении #531459 писал(а):

$$\delta S =\int T^{k}_{i;k} \xi ^i\sqrt{-g}dVdt=0 $$

Для ковариантной дивергенции (в отличие от обычной) никакой теоремы Гаусса не существует, так что никакого закона сохранения с ней связать не удастся.

Хочу ещё раз повториться, что уравнение $T^{k}_{i;k} = 0$ никаких ограничений на динамику материи не накладывает, потому что оно - следствие уравнений Эйнштейна, а в уравнениях Эйнштейна $T^{k}_{i}$ - это произвольная правая часть.

Да, в случае пространства-времени Минковского (в мире без гравитации) это уравнение вырождается в закон сохранения энергии-импульса, т.е. некое (весьма слабое) условие на динамику материи всё же появляется. Но даже это слабое условие является следствием не уравнений Эйнштейна самих по себе, а как раз этого самого условия отсутствия гравитации: энергия и импульс материи вынуждены сохраняться только потому, что их по условию не может унести или принести гравитационное поле - его же ведь нет.

[apv]

epros в сообщении #531479 писал(а):

apv в сообщении #531459 писал(а):

$$\delta S =\int T^{k}_{i;k} \xi ^i\sqrt{-g}dVdt=0 $$

Для ковариантной дивергенции (в отличие от обычной) никакой теоремы Гаусса не существует, так что никакого закона сохранения с ней связать не удастся.

Да бох с этими законами сохранения, до вывода этой формулы вроде теорему Гаусса не использовали (если я не ошибаюсь) .

epros в сообщении #531479 писал(а):

Хочу ещё раз повториться, что уравнение $T^{k}_{i;k} = 0$ никаких ограничений на динамику материи не накладывает, потому что оно - следствие уравнений Эйнштейна, а в уравнениях Эйнштейна $T^{k}_{i}$ - это произвольная правая часть.

Ну да, произвольная как и произвольны уравнения движения вообще $\frac{\partial}{\partial x^i} \frac{\partial \Lambda}{\partial q_{,k}} - \frac{\partial \Lambda}{\partial q}\right =0$, как только мы возьмемся за конкретную задачу, все букофки приобретают вполне конкретный смысл.

[epros]

apv в сообщении #531493 писал(а):

как только мы возьмемся за конкретную задачу, все букофки приобретают вполне конкретный смысл

Так вот я и пытаюсь обратить внимание общественности на то, что этот "конкретный смысл" берётся из условий конкретной задачи, а отнюдь не из уравнений Эйнштейна самих по себе.

[Munin]

apv в сообщении #531459 писал(а):

Для получения этих "уравнений движения"...

Только без кавычек, пожалуйста. Они так официально уравнениями движения и называются.

apv в сообщении #531459 писал(а):

то что находится под интегралом и есть "уравнения движения".

Даже если и так, следствие из этого - закон сохранения тока - уравнениями движения не является. Чего тут ходить по кругу? Из большого количества соотношений можно вывести одно, но оно не позволяет обратного вывода, и поэтому не эквивалентно исходным соотношениям, и не имеет право носить их название.

epros в сообщении #531479 писал(а):

Для ковариантной дивергенции (в отличие от обычной) никакой теоремы Гаусса не существует

Ну вот, опять враньё, существует обобщённая теорема Стокса.

epros в сообщении #531479 писал(а):

Хочу ещё раз повториться, что уравнение $T^{k}_{i;k} = 0$ никаких ограничений на динамику материи не накладывает, потому что оно - следствие уравнений Эйнштейна, а в уравнениях Эйнштейна $T^{k}_{i}$ - это произвольная правая часть.

Этот довод очевидно неверный, что видно из примера: уравнение сохранения тока - следствие уравнений Максвелла, и при этом накладывает ограничения на ток, так что ток - не произвольная правая часть. Мы его можем задавать почти произвольно, в том смысле, что закона сохранения тока нарушать не можем (в итоге, из четырёх функций произвольными остаются только три).

-- 26.01.2012 14:16:42 --

epros в сообщении #531498 писал(а):

Так вот я и пытаюсь обратить внимание общественности на то, что этот "конкретный смысл" берётся из условий конкретной задачи, а отнюдь не из уравнений Эйнштейна самих по себе.

А общественность недоумевает, чего это вы обращаете её внимание на неверные вещи...

[epros]

Munin в сообщении #531501 писал(а):

так что ток - не произвольная правая часть

Ток в электродинамике - не произвольная правая часть, а ТЭИ в уравнениях Эйнштейна - произвольная.

[Утундрий]

Munin в сообщении #531422 писал(а):

ваш вывод работает не в любом частном случае (тогда бы это называлось выполнением в общем случае), а только в одном частном случае.

Приведите, если не трудно, пример.

И еще, я никак не пойму, что вы понимаете под "общим случаем".
Что-то ничего в голову не приходит окромя "уравнения" вида

$$R_{\mu \nu } = $$

[Утундрий]

Прошу прощения, я был невнимателен:

Munin в сообщении #531422 писал(а):

Возьмите лагранжиан полей СМ.

Увы, не могу. К обсуждаемой теме относятся лишь поля, имеющие хорошо определенный классический предел. Само ОТО без сбоев работает только с такими полями. Фундаментальные фермионы, таким образом, выпадают. Еще раз "увы".

[Munin]

Утундрий в сообщении #531670 писал(а):

Приведите, если не трудно, пример.

Любой набор нескольких видов полей, в частности, СМ, как я уже предлагал выше. Или, может быть, даже одно Янга-Миллса сойдёт.

Если вас смущают поля фермионов, замените их точечными частицами с соответствующими зарядами. Конечно, это будет уже не СМ, но классический предел получите. И даже без фермионов СМ - системка посодержательней, чем то, что вы до сих пор рассматривали.