Уравнения движения в уравнении Эйнштейна(ОТО)

[epros]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #530621 писал(а):

Не позволю.

Вынужден разочаровать: это был всего лишь вежливый оборот, на самом деле я в Ваших разрешениях не нуждаюсь. По моим понятиям нарушаете правила Вы, втягивая собеседников в препирательства, не относящиеся к обсуждаемому вопросу. Это называется троллинг. Я понимаю, что Вам скучно, но меня "обсуждения" такого рода не интересуют. А вот для ТС я готов со всеми подробностями объяснить, почему в уравнениях Эйнштейна никаких уравнений движения никакой материи не заложено.

-- Вт янв 24, 2012 14:18:42 --

apv в сообщении #530624 писал(а):

Т.е., в уравнениях Эйнштейна все же содержатся уравнения движения источников, хотя и не полностью, т.к. нужно еще и уравнение состояния источника.

Хм. Нет, не содержатся. Попробую объяснить на Вашем же примере (свободно движущеся материальной точки). Дело в том, что уравнение движения этой материальной точки "содержится" в двух постулатах:
1) Энергия и импульс объекта сохраняются.
2) Объект всегда остаётся материальной точкой.

Можно, например, нарушить второй постулат: Предположим, что в некоторый момент объект распадается на две материальные точки. Такое ведь может быть? И никаким уравнениям ОТО не противоречит? А уравнение движения-то уже стало совсем другим.

[Munin]

(Оффтоп)

epros в сообщении #530625 писал(а):

Вынужден разочаровать: это был всего лишь вежливый оборот, на самом деле я в Ваших разрешениях не нуждаюсь.

Вынужден разочаровать: я могу обратиться к модераторам.

epros в сообщении #530625 писал(а):

По моим понятиям нарушаете правила Вы, втягивая собеседников в препирательства, не относящиеся к обсуждаемому вопросу. Это называется троллинг.

Препирательства начали вы, выложив лживую формулировку, не относящуюся к обсуждаемому вопросу. Это называется провокация.

epros в сообщении #530625 писал(а):

Я понимаю, что Вам скучно

Отнюдь.

epros в сообщении #530625 писал(а):

А вот для ТС я готов со всеми подробностями объяснить, почему в уравнениях Эйнштейна никаких уравнений движения никакой материи не заложено.

Вот этим бы и ограничились.

[apv]

epros в сообщении #530625 писал(а):

Хм. Нет, не содержатся.

Какая-то патовая ситуация для меня, с одной стороны все лит. источники. даже тот же ЛЛ2, утверждают что содержатся, а Вы - не содержатся.

Вот нашел в ЛЛ2:

Цитата:

Таким образом, уравнения гравитационного поля содержат в себе также и уравнения для самой материи, которая создает это поле. Поэтому распределение и движение материи, создающей гравитационное поле, отнюдь не могут быть заданы произвольным образом. Напротив, они должны быть определены (посредством решения уравнений поля при заданных начальных условиях) одновременно с самим создаваемым этой материей полем.
Обратим внимание на принципиальное отличие этой ситуации от того, что мы имели в случае электромагнитного поля. Уравнения этого поля (уравнения Максвелла) содержат в себе только уравнение сохранения полного заряда (уравнение непрерывности), но не уравнения движения самих зарядов. Поэтому распределение и движение зарядов могут быть заданы произвольным образом, лишь бы полный заряд был постоянным. Заданием этого распределения зарядов посредством уравнений Максвелла определяется оздаваемое ими электромагнитное поле.

-- Вт янв 24, 2012 12:54:36 --

epros в сообщении #530625 писал(а):

Можно, например, нарушить второй постулат: Предположим, что в некоторый момент объект распадается на две материальные точки. Такое ведь может быть? И никаким уравнениям ОТО не противоречит? А уравнение движения-то уже стало совсем другим.

Если распадается, то под дествием сил какой-то природы, например, слабых сил. Если такая возможность предполагается, то нужно выбирать и другой ТЭИ, кот. учитывает больше степеней свободы.

[epros]

apv в сообщении #530634 писал(а):

Вот нашел в ЛЛ2:

Хм. Неблагодарное занятие спорить с "библией", но приходится... Всё же даже "библию" надо читать с пониманием, а не формально. Вот, например, это:

Цитата:

Таким образом, уравнения гравитационного поля содержат в себе также и уравнения для самой материи, которая создает это поле.

что означает? Если перевести "уравнения гравитационного поля" как "уравнения Эйнштейна", то это - ложное высказывание. И очевидно почему: При одних и тех же уравнениях Эйнштейна возможны разные уравнения движения материи. А вот если перевести "уравнения гравитационного поля" как "конкретная формула для метрики", тогда это - истинное высказывание. Потому что через заданное (во всём пространстве-времени) поле, естественно, можно всё узнать о движении его зарядов (что, кстати, верно и для электромагнитного поля).

Остальная часть цитаты, очевидно, тоже требует вдумчивости при толковании. Не дайте задавить себя авторитетом.

-- Вт янв 24, 2012 14:56:42 --

apv в сообщении #530634 писал(а):

Если распадается, то под дествием сил какой-то природы, например, слабых сил.

Все эти силы можно считать действующими в пределах (внутри) рассматриваемой материальной точки.

-- Вт янв 24, 2012 15:07:30 --

apv в сообщении #530634 писал(а):

нужно выбирать и другой ТЭИ

Какой же другой? ТЭИ материальной точки определён однозначно - через её четырёхимпульс и через её координаты.

[Munin]

apv в сообщении #530634 писал(а):

Вот нашел в ЛЛ2:

Цитата:

Таким образом, уравнения гравитационного поля содержат в себе также и уравнения для самой материи, которая создает это поле.

Аккуратный Ландау не употребляет терминологического словосочетания "уравнения движения". Обращайте внимание на такие вещи.

apv в сообщении #530634 писал(а):

Цитата:

Поэтому распределение и движение материи, создающей гравитационное поле, отнюдь не могут быть заданы произвольным образом.

Да. Потому что нельзя задать распределение и движение материи "вообще", они задаются уже в каком-то пространстве-времени (или вместе с ним), то есть уже в присутствии определённой гравитации. Правда, с другой стороны, можно действовать путём последовательных приближений: задать материю произвольно, потом посчитать гравитацию, учесть её в условиях движения материи, посчитать второе приближение гравитации, и так далее. Не помню, упомянул ли об этом Ландау...

epros в сообщении #530644 писал(а):

Если перевести "уравнения гравитационного поля" как "уравнения Эйнштейна", то это - ложное высказывание.

Ну опять врёте. Под "уравнениями гравитационного поля" на протяжении всей ЛЛ-2 подразумеваются именно уравнения Эйнштейна, и тем не менее, это высказывание истинное. Потому что "уравнения для материи" - это может быть нечто более слабое, чем уравнения движения.

epros в сообщении #530644 писал(а):

А вот если перевести "уравнения гравитационного поля" как "конкретная формула для метрики", тогда это - истинное высказывание. Потому что через заданное (во всём пространстве-времени) поле, естественно, можно всё узнать о движении его зарядов (что, кстати, верно и для электромагнитного поля).

И опять враньё... В качестве зарядов гравитационного поля фигурирует ТЭИ, а не полное описание всех зарядов. Например, рассмотрим такой процесс: два фотона сталкиваются, и рождают электрон-позитронную пару. За счёт гравитации эти электрон и позитрон обратно сталкиваются, и излучают два фотона. Если в этом процессе поменять электрон и позитрон местами (меняются знаки зарядов и направления электрических и магнитных полей), движение будет другим. А ТЭИ - абсолютно таким же. Независимо от того, говорите вы об уравнениях Эйнштейна или о конкретной формуле для метрики.

epros в сообщении #530644 писал(а):

Остальная часть цитаты, очевидно, тоже требует вдумчивости при толковании.

Знаний она прежде всего требует, и физических. А не "толкования" с презрением к физике.

[apv]

Munin в сообщении #530723 писал(а):

Аккуратный Ландау не употребляет терминологического словосочетания "уравнения движения". Обращайте внимание на такие вещи.

А какое еще уравнение может скрываться за словосочетанием "уравнения движения"? То что это не уравнение состояния можна понять далее в тексте ЛЛ2. Кроме того "неаккуратный" Хриплович прямо говорит "В отличие от закона сохранения тока четыре уравнения [ $T^{\mu\nu}_{;\nu}=0$ ] полностью определяют движение частиц."

[Утундрий]

apv в сообщении #530733 писал(а):

А какое еще уравнение может скрываться за словосочетанием "уравнения движения"?

Уравнение движения "точечных" масс.

Собственно, вся эта тема и посвящена вопросу о возможности вывода из уравнений поля уравнений движения точечных (или непрерывных, но "островных") масс. Или нет?

Ответ на этот вопрос положительный, с той только оговоркой, что нужно исходить из всех существенных в рассматриваемой задаче уравнений поля.

Например, в случае массивной заряженной материи в присутствии электромагнитного поля, одних только уравнений Эйнштейна для вывода уравнений движения недостаточно. Выкладки не сложнее аналогичных для случая нейтральной пыли и я их тут, пожалуй, приведу.

Итак, кроме уравнений Эйнштейна

$$\[ R^{\mu \nu } - \frac{1} {2}Rg^{\mu \nu } = T^{\mu \nu } (1) \] $$

с т.э.и.

$$\[ T^{\mu \nu } = \rho u^\mu u^\nu + \frac{1} {4}F^{\alpha \beta } F_{\alpha \beta } g^{\mu \nu } - F^{\mu \beta } F_{ \cdot \beta }^\nu (2) \] $$

где $\[ u^\alpha u_\alpha = 1 \] $ и $\[ F^{\mu \nu } = - F^{\nu \mu } \] $
нам понадобятся также уравнения Максвелла

$$\[ \begin{gathered} F^{\mu \nu } _{;\nu } = - j^\mu \hfill \\ F^{\mu \nu ;\alpha } + F^{\alpha \mu ;\nu } + F^{\nu \alpha ;\mu } = 0 \hfill \\ \end{gathered} (3) \] $$

Из (1-3) следует

$$\[ 0 = T^{\mu \nu } _{;\nu } = \left( {\rho u^\nu } \right)_{;\nu } u^\mu + \rho u^\nu u_{;\nu }^\mu + \left\{ {\frac{1} {2}F^{\alpha \beta ;\mu } F_{\alpha \beta } - F_{;\nu }^{\mu \beta } F_{ \cdot \beta }^\nu } \right\} - F^{\mu \nu } j_\nu \] $$

Фигурная скобка даст $\[ \frac{1} {2}F^{\alpha \beta ;\mu } F_{\alpha \beta } - F_{;\nu }^{\mu \beta } F_{ \cdot \beta }^\nu \mathop = \limits^{(3)} - \frac{1} {2}\left( {F^{\mu \alpha ;\beta } + F^{\beta \mu ;\alpha } } \right)F_{\alpha \beta } - F_{;\nu }^{\mu \beta } F_{ \cdot \beta }^\nu = 0 \] $, так что

$$\[ \left( {\rho u^\nu } \right)_{;\nu } u^\mu + \rho u^\nu u_{;\nu }^\mu - F^{\mu \nu } j_\nu = 0 \] $$

Сворачивая с $\[ u_\mu \] $ найдем $\[ \left( {\rho u^\nu } \right)_{;\nu } = F^{\alpha \nu } u_\alpha j_\nu \] $, откуда

$$\[ \rho u^\nu u_{;\nu }^\mu = F^{\mu \nu } j_\nu - F^{\alpha \beta } u_\alpha j_\beta u^\mu \] $$

.

Это уравнение для распределенных зарядов и масс. Совершим теперь переход к "частицам", сжимая распределение к нескольким одиночным мировым линиям так, чтобы

$$\[ \begin{gathered} j^\mu \to qu^\mu \Delta V \hfill \\ \rho \to m\Delta V \hfill \\ u^\nu u_{;\nu }^\mu \to \frac{{Du^\mu }} {{ds}} \hfill \\ \end{gathered} (4) \] $$

И в итоге получаем классическое

$$\[ \frac{{Du^\mu }} {{ds}} = \frac{q} {m}F^{\mu \nu } u_\nu \] $$

[Munin]

apv в сообщении #530733 писал(а):

А какое еще уравнение может скрываться за словосочетанием "уравнения движения"?

Уравнения движения - это такая система уравнений, которая достаточна, чтобы полностью задать движение системы. Если мы возьмём часть этой системы, то то, что мы возьмём, будет какими-то соблюдающимися уравнениями, но не будет иметь право на название "уравнения движения".

apv в сообщении #530733 писал(а):

Кроме того "неаккуратный" Хриплович прямо говорит "В отличие от закона сохранения тока четыре уравнения [ $T^{\mu\nu}_{;\nu}=0$ ] полностью определяют движение частиц."

Разве что только частиц. Частицы - это вырожденный случай, в жизни приходится иметь дело с полями. Более того, процессы распада или рекомбинации не являются чисто процессами частиц (какого бы мнения ни придерживался epros). Грубо говоря, точка взаимодействия, в которую входят мировые линии одних частиц, а выходят - других, должна давать свой неисчезающий вклад в действие.

[epros]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #530723 писал(а):

И опять враньё... В качестве зарядов гравитационного поля фигурирует ТЭИ, а не полное описание всех зарядов.

Я бы попросил Вас быть поосторожнее с громкими обвинениями. Я человек терпеливый, но когда-то за обвинения во вранье могли и пристрелить (на дуэли, я имею в виду). Я ни про какие другие заряды, кроме ТЭИ, не говорил, ибо прекрасно знаю, что именно ТЭИ играет роль заряда для гравитационного поля.

apv в сообщении #530733 писал(а):

Кроме того "неаккуратный" Хриплович прямо говорит "В отличие от закона сохранения тока четыре уравнения [ $T^{\mu\nu}_{;\nu}=0$ ] полностью определяют движение частиц."

apv, мне не нравится такой подход к доказательствам - с помощью цитат. Наука - не Священное Писание. И я, например, не собираюсь отвечать за то, что сказал Хриплович или даже Ландау. Я готов отвечать только за собственное мнение. Мне, например, эта фраза не нравится. Во-первых, потому что она подчёркивает несуществующие отличия. А во-вторых, потому что она говорит явную неправду про определение движения частиц: Нигде из этого уравнения Вы не увидите, распадётся или нет то, что в соответствии с начальными условиями было единой частицей. Вот примеры двух вариантов развития событий:
1) Навсегда останется единой частицей, пребывающей в покое в центре координат.
2) Через полчаса разделится на две половинки, которые с субсветовыми скоростями разлетятся в противоположные стороны.
Оба варианта удовлетворяют указанному уравнению и оба имеют одинаковые начальные условия (в терминах тензора энергии-импульса и метрики пространства-времени). Но решения-то разные.

[Munin]

(Оффтоп)

epros в сообщении #530955 писал(а):

Я бы попросил Вас быть поосторожнее с громкими обвинениями. Я человек терпеливый, но когда-то за обвинения во вранье могли и пристрелить (на дуэли, я имею в виду). Я ни про какие другие заряды, кроме ТЭИ, не говорил, ибо прекрасно знаю, что именно ТЭИ играет роль заряда для гравитационного поля.

Дело в том, что вы в разделе "Физика". А когда в физике говорят "заряды", подразумевают именно заряды, а не только один заряд для гравитационного поля. Из контекста это никак не следовало, поскольку речь шла о материи. Материя - это совокупность полей, с кучей взаимодействий и соответствующих им зарядов (часть квантовых чисел тоже называется иногда зарядами, хотя взаимодействиям не отвечает, например, барионный заряд).

Снимаю обвинение во вранье, но впредь оговаривайте такие вещи, которые положено оговаривать в физике, даже если лично вы у себя где-то в другом месте оговаривать такие вещи не привыкли. Я тоже человек терпеливый, но ваше навязывание в "Физике" устава другого монастыря - когда-то за такое могли забить кольями (в монастыре, я имею в виду).

[epros]

(Оффтоп)

Munin в сообщении #530964 писал(а):

... ваше навязывание в "Физике" устава другого монастыря ...

Для меня этот монастырь не более чужой, чем для Вас. Не стоит строить из себя игумена.

[apv]

epros в сообщении #530955 писал(а):

apv, мне не нравится такой подход к доказательствам - с помощью цитат.

Я ничего не пытаюсь доказывать, а пытаюсь разобраться. Я думал, что все те цитаты говорят про то, что в уравнениях Эйнштейна полностью содержаться уравнения движения источников, для меня это показалось странным, поэтому и задал вопрос. Я даже не предполагал, что вопрос окажется дискусионным. Теперь же, по совокупности ответов, вполне убедительно, что не"полностью", получается что для определения движения материи нужны еще дополнительные условия.

epros в сообщении #530955 писал(а):

2) Через полчаса разделится на две половинки, которые с субсветовыми скоростями разлетятся в противоположные стороны.Оба варианта удовлетворяют указанному уравнению и оба имеют одинаковые начальные условия (в терминах тензора энергии-импульса и метрики пространства-времени). Но решения-то разные.

А разьве в ТЭИ не содержится информация о взаимодействиях, посредством которых она разделяется?

[epros]

apv в сообщении #530984 писал(а):

А разьве в ТЭИ не содержится информация о взаимодействиях, посредством которых она разделяется?

Где же она может содержаться? В ТЭИ есть только информация 1) о плотности энергии, 2) о плотности импульса и 3) о механических напряжениях. Причём только в заданный момент, а отнюдь не вся динамика. ТЭИ материальной точки отличен от нуля только в том месте, где она в данный момент находится (т.е. его можно выразить через дельта-функцию). И вся информация о том, что находится в этой точке, сводится к полной энергии и импульсу. Такое описание вполне корректно в модели без гравитационного взаимодействия (гравитационная постоянная равна нулю, пространство-время Минковского). Но даже если Вы будете настаивать на том, что гравитационное взаимодействие должно быть учтено, т.е. модель точечного объекта не подходит, из ТЭИ полную информацию о будущей динамике системы Вы всё равно не извлечёте.

Более того, я пытался Вам сказать (но похоже, что пока не был услышан), что из уравнения $T^{i j}_{;j} = 0$ Вы, строго говоря, не сможете извлечь вообще никакую информацию о динамике материи. Потому что для материи здесь нет даже законов сохранения: любые энергию и импульс может унести или принести гравитационное поле. Вы можете в неких заданных координатах выбрать совершенно любые "будущие" значения для ТЭИ, найти по ним из уравнений Эйнштейна решение для метрики, а потом - опа-па - с удивлением убедиться, что $T^{i j}_{;j}$ тождественно равен нулю.

[Munin]

(Оффтоп)

epros в сообщении #530982 писал(а):

Для меня этот монастырь не более чужой, чем для Вас.

Тогда не презирайте его столь яростно...

apv в сообщении #530984 писал(а):

Я думал, что все те цитаты говорят про то, что в уравнениях Эйнштейна полностью содержаться уравнения движения источников, для меня это показалось странным, поэтому и задал вопрос. Я даже не предполагал, что вопрос окажется дискусионным.

Он, [censored], не оказался дискуссионным. Все вам говорят одно и то же: полностью - не содержатся. А то бы не было нужды отдельно уравнения движения материи записывать.

"Дискуссионным", [censored], "оказался" другой вопрос, к делу не относящийся, и больше касающийся различий в словоупотреблении для тех, кто по-разному к ОТО относится.

epros в сообщении #530996 писал(а):

В ТЭИ есть только информация 1) о плотности энергии, 2) о плотности импульса и 3) о механических напряжениях.

Протестую против слова "механических". Там может быть поток импульса любого происхождения.

epros в сообщении #530996 писал(а):

Потому что для материи здесь нет даже законов сохранения: любые энергию и импульс может унести или принести гравитационное поле.

Нет, не любые. А только те, которые соответствуют истинному движению материи в гравитационном поле.

epros в сообщении #530996 писал(а):

Вы можете в неких заданных координатах выбрать совершенно любые "будущие" значения для ТЭИ, найти по ним из уравнений Эйнштейна решение для метрики

Доказывайте. Или снова увиливайте, уточняя, что под словами "заданные координаты" вы имели в виду всего лишь "не заданные координаты"...

[Утундрий]

Munin в сообщении #531040 писал(а):

Все вам говорят одно и то же: полностью - не содержатся. А то бы не было нужды отдельно уравнения движения материи записывать.

Вообще-то лично я говорю в точности противоположное. Потому как не испытываю нужды записывать уравнения движения отдельно, коль скоро они из уравнений поля вывелись. Полностью. Выше. Дважды.