Уравнения движения в уравнении Эйнштейна(ОТО)

[apv]

В литературе часто встречается утверждение, что в уравнениях Эйнштейна содержатся и уравнения движения ($\nabla \cdot T = 0$, где $T$ - ТЭИ источника гравитации), в отличие от электродинамики. Что, собственно, имеется ввиду? Как я понимаю, уравнение есть уравнение движения источника в собственном же поле, т.к. туда входит ТЭИ источника, но никак не уравнение движения пробных тел в поле источника (уравнение геодезических).

[Munin]

В какой литературе? А то $\nabla\cdot T=0$ - это не уравнение движения вообще (в нём компонент слишком мало)...

[apv]

Munin в сообщении #530173 писал(а):

В какой литературе? А то $\nabla\cdot T=0$ - это не уравнение движения вообще (в нём компонент слишком мало)...

Такая (бескомпонентная) форма записи встречается в МТУ (Том 1, глава 5), или в компонентой форме, у Фока ($\nabla_{\mu} T^{\mu\nu}=0$)
Например у Фока "Теория пространства, времени и тяготения" § 63 можно прочитать:

Цитата:

..мы уже пользовались предположением, что в заданном поле тяготения материальная точка движется по геодезической линии. Это предположение не является, однако, независимой гипотезой, но может рассматриваться как следствие из уравнений тяготения, в соединении с предположением о виде тензора массы. Уравнения тяготения используются при этом лишь постольку, поскольку из них вытекают соотношения

$$\nabla_{\mu} T^{\mu\nu}=0 \text{ (63.01)}$$

выражающие равенство нулю расходимости тензора массы. Уравнения движения материальной точки получаются, путем предельного перехода к случаю сосредоточенной массы, из уравнений движения сплошной среды.

А далее он выводит уравнение геодезических из уравнения (63.01).

[Munin]

apv в сообщении #530207 писал(а):

Такая (бескомпонентная) форма записи

Речь не о том, что форма записи бескомпонентная. А о том, что это уравнение не может задавать полностью движения сколько-нибудь сложной системы. Если система состоит из единственной материальной частицы - ну, тут, может быть, может.

А книжка Фока, увы... я бы её остро не рекомендовал для первого знакомства с ОТО. И для второго тоже. Она слишком устарела и слишком пропитана личными взглядами Фока, который к ОТО питал что-то вроде антипатии.

И даже в этой цитате явно сказано: "Уравнения движения материальной точки получаются, путем предельного перехода к случаю сосредоточенной массы, из уравнений движения сплошной среды." А не из (63.01). Если вам кажется, что дальше он выводит всё из (63.01), посмотрите внимательнее, не вводит ли он ещё каких-нибудь соотношений и предположений или ссылок.

[apv]

Munin в сообщении #530237 писал(а):

Если вам кажется, что дальше он выводит всё из (63.01), посмотрите внимательнее, не вводит ли он ещё каких-нибудь соотношений и предположений или ссылок.

Да вроде, вот все что сказал, то и использовал :

Цитата:

Это — явная форма уравнений геодезической линии. Мы еще раз убедились, что уравнения свободного движения материальной точки совпадают с уравнениями геодезической линии. Наш вывод показывает, что эти уравнения могут быть получены непосредственно из равенства $\nabla_{\mu}T^{\mu\nu}=0$ путем интегрирования по объему и последующего перехода к случаю сосредоточенной массы.

Вот еще в книге Бескина В.С. Гравитация и астрофизика наткнулся на фразу:

Цитата:

Но если это так, то законам сохранения должен удовлетворять и тензор $<T>$, стоящий в правой части уравнения, причем удовлетворять тождественно. Следовательно, мы приходим к важнейшему заключению, что законы сохранения энергии и импульса содержатся в самих уравнениях Эйнштейна. А это означает, что сама материя, приводящая к искривлению пространства-времени, не может двигаться произвольным образом. Поэтому уравнения Эйнштейна автоматически содержат не только законы гравитационного поля, но и законы движения. Следовательно, можно сказать, что общая теория относительности является обобщением как закона Всемирного тяготения, так и законов
Ньютона.

Как я понимаю, эти самые законы движения в уравнениях поля - это равенство дивергенции ТЭИ нулю. Но с другой стороны равенство дивергенции ТЭИ нулю - это законы сохранения (источник поля + само гравитационное поле). Поэтому и возник вопрос, почему это уравнение есть еще и уравнением движения тел в гравитационном поле?

[Munin]

apv в сообщении #530250 писал(а):

Цитата:

Поэтому уравнения Эйнштейна автоматически содержат не только законы гравитационного поля, но и законы движения.

Здесь, видимо, "законы движения" - это нечто достаточно общее и размытое, а не конкретно уравнения движения. То есть в какой-то степени уравнение Эйнштейна задаёт движение материи, но не полностью.

Подумайте вот о чём. ТЭИ - это всего лишь одна количественная характеристика, а материя может быть разнообразная. Например, энергия у электрического поля и у магнитного может быть одна и та же. И по энергии вы не скажете, какое там на самом деле поле, электрическое или магнитное. (И это если рассматривать только один электромагнитный вид материи.) Поэтому закон сохранения ТЭИ задаёт движение не полностью. И нельзя его называть уравнением движения, потому что он слабее. Хотя в обратную сторону верно: любое движение материи, удовлетворяющее уравнениям движения, удовлетворяет и закону сохранения ТЭИ.

Это и означали мои слова, что в законе сохранения ТЭИ компонент маловато.

-- 23.01.2012 13:29:21 --

P. S. Хотя если ограничиться электромагнитным полем, утверждение про компоненты неверно: в уравнениях Максвелла для потенциала 4 компоненты, и в законе сохранения ТЭИ 4 компоненты. Но даже в этом случае закон сохранения ТЭИ не полностью задаёт движение материи. А если добавлять другие виды материи (частицы, другие поля), то уравнений движения явно будет больше, а закон сохранения ТЭИ останется со своими 4 компонентами.

[Утундрий]

Простой вывод для случая "пыли" есть у Хрипловича (и кажись у Дирака, е.м.н.и.п.). Выглядит он так.

ТЭИ пыли:

$$T^{\mu \nu } = \rho u^\mu u^\nu (1)$$

где $u^\alpha u_\alpha = 1$ и $\rho$ - некоторая скалярная функция.
Тогда $0 = T^{\mu \alpha } _{;\alpha } = \left( {\rho u^\alpha } \right)_{;\alpha } u^\mu + \rho u^\alpha u^\mu _{;\alpha }$. Сворачивая это с $u_\mu$, получим соотношение $\left( {\rho u^\alpha } \right)_{;\alpha } = 0$ имеющее вид уравнения неразрывности для некоего тока, учтя которое окончательно будем иметь

$$u^\alpha u^\mu _{;\alpha } = \frac{{Du^\mu }}{{Ds}} = 0 (2)$$

Как видно, существенным моментом при выводе (2) является выбор вида ТЭИ (1).

[epros]

apv в сообщении #530250 писал(а):

Как я понимаю, эти самые законы движения в уравнениях поля - это равенство дивергенции ТЭИ нулю. Но с другой стороны равенство дивергенции ТЭИ нулю - это законы сохранения (источник поля + само гравитационное поле). Поэтому и возник вопрос, почему это уравнение есть еще и уравнением движения тел в гравитационном поле?

На самом деле уравнения Эйнштейна накладывают единственное ограничение на ТЭИ - его ковариантная дивергенция должна быть равна нулю: $T^{i j}_{;j} = 0$. Попробую объяснить, почему это не имеет абсолютно никакого отношения к уравнениям движения материи.

Во-первых, равенство нулю ковариантной дивергенции само по себе вообще ничего не значит. Ибо какие-бы то ни было законы сохранения связаны с равенством нулю обычной, а не ковариантной дивергенции. Ковариантную дивергенцию можно разложить на сумму обычной дивергенции и "ещё чего-то". Обычная дивергенция может быть какой угодно (т.е. закона сохранения энергии-импульса одной только материи - без поля - не существует), а мы всегда можем подобрать это "ещё что-то" таким образом, чтобы сумма осталась нулевой. Как видите, на уравнения движения материи не накладываются даже такие ограничения, как обычные законы сохранения энергии-импульса.

Во-вторых, даже если рассмотреть предельный случай нулевой гравитационной постоянной, при котором гравитации по определению нет, а есть только плоское пространство-время Минковского, то уравнения Эйнштейна сведутся всего лишь к $\frac{\partial T^{i j}}{\partial x^j} = 0$, что является законом сохранения энергии-импульса. Т.е. даже в этом предельном случае никаких ограничений на движение материи, кроме закона сохранения энергии-импульса, не накладывается.

[apv]

Утундрий в сообщении #530560 писал(а):

Как видно, существенным моментом при выводе (2) является выбор вида ТЭИ (1).

Но у того же Хрипловича в том же параграфе выше сказано, что уравнение $T^{\mu\nu}_{;\nu}=0$ полностью определяет движение частиц, что, кагбэ, противоречит Вашему утверждению о специальном виде ТЭИ. О же далее пишет, что "Продемонстрируем это на примере..." и выбирает ТЭИ пыли.

epros в сообщении #530595 писал(а):

Во-вторых, даже если рассмотреть предельный случай нулевой гравитационной постоянной, при котором гравитации по определению нет, а есть только плоское пространство-время Минковского, то уравнения Эйнштейна сведутся всего лишь к $\frac{\partial T^{i j}}{\partial x^j} = 0$, что является законом сохранения энергии-импульса. Т.е. даже в этом предельном случае никаких ограничений на движение материи, кроме закона сохранения энергии-импульса, не накладывается.

Ну так если энергия-импульс сохраняется в отсутствие гравитации, то разьве это не означает, что геодезическая - прямая? Ну а дополнительными ограничениями есть уравнения состояния материи.

[epros]

apv в сообщении #530603 писал(а):

Ну так если энергия-импульс сохраняется в отсутствие гравитации, то разьве это не означает, что геодезическая - прямая?

Разумеется не означает, поскольку закон сохранения не имеет никакого отношения к тому, что есть геодезическая.

apv в сообщении #530603 писал(а):

... полностью определяет движение частиц ... О же далее пишет, что "Продемонстрируем это на примере..." и выбирает ТЭИ пыли.

Ну и ну. Выбрав ТЭИ пыли, мы очевидным образом получим уравнения движения пыли. Так что в данном случае уравнение движения определяется не уравнениями Эйнштейна, а выбором вида материи.

[apv]

epros в сообщении #530605 писал(а):

Ну и ну. Выбрав ТЭИ пыли, мы очевидным образом получим уравнения движения пыли. Так что в данном случае уравнение движения определяется не уравнениями Эйнштейна, а выбором вида материи.

А если бы выбрали ТЭИ точечной частицы, то получили бы уравнение геодезической?

[Munin]

epros в сообщении #530595 писал(а):

Во-первых, равенство нулю ковариантной дивергенции само по себе вообще ничего не значит.

Ну вы задолбали уже с этой глупостью! "Вполне конкретной вещи не значит", а не "ничего не значит". Хватит уже поносить физику, какого бы вы ни были о ней личного мнения.

epros в сообщении #530595 писал(а):

Как видите, на уравнения движения материи не накладываются даже такие ограничения, как обычные законы сохранения энергии-импульса.

[facepalm]

apv в сообщении #530607 писал(а):

А если бы выбрали ТЭИ точечной частицы, то получили бы уравнение геодезической?

Да, только в этом случае его бы и получили бы.

[epros]

apv в сообщении #530607 писал(а):

А если бы выбрали ТЭИ точечной частицы, то получили бы уравнение геодезической?

В отстутствие гравитации? Разумеется получили бы, и что с того? Это следует не из уравнений Эйнштейна, а из первого закона Ньютона, т.е. фактически из определения того, что такое "материальная точка, на которую не действует никаких внешних сил".

-- Вт янв 24, 2012 13:53:07 --

(Munin)

Позвольте проигнорировать исходящий от Вас не относящийся к делу шум.

[Munin]

epros в сообщении #530618 писал(а):

Позвольте проигнорировать исходящий от Вас не относящийся к делу шум.

Не позволю. Ваше враньё начинает нарушать правила форума, относящиеся к распространению лженаучной пропаганды.

-- 24.01.2012 14:02:28 --

epros в сообщении #530618 писал(а):

В отстутствие гравитации?

И в присутствии тоже. А то, что определение материальной точки здесь играет большую роль, верно. Исключение из теории всех остальных вкладов в ТЭИ означает отсутствие пондеромоторных сил, что и приводит к движению точки по геодезической.

[apv]

Munin в сообщении #530613 писал(а):

apv в сообщении #530607 писал(а):

А если бы выбрали ТЭИ точечной частицы, то получили бы уравнение геодезической?

Да, только в этом случае его бы и получили бы.

Т.е., в уравнениях Эйнштейна все же содержатся уравнения движения источников, хотя и не полностью, т.к. нужно еще и уравнение состояния источника.
Ну вот что странно, если источником поля есть точечная масса, то из уравнений поля выводится для нее выводится уравнение движения (геодезичесих). Нету ли здесь намека на самодействие?