Функциональный анализ: полное ли данное метрическое пр-во

[wcgrume]

Привожу задачу:

Будет ли полным метрическим пространством вещественная прямая с метрикой
$\rho(x,y) = |\arctg(x) - \arctg(y)|$

Рассуждения были следующие: пространство полное, если любая фундаментальная последовательность сходящаяся. В тоже время, любая фундаментальная последовательность ограничена, а следовательно на числовой прямой можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Из аксиомы метрики о неравенстве треугольника получаем что последовательность сходящаяся. Смущение вызывает тот факт, что полнота пространства не зависит от метрики(главное чтобы удовлетворяла аксиомам), а в задачнике, по которому я решаю, есть несколько схожих задач в которых изменена только функция $\rho(x,y)$. Помогите найти ошибку в рассуждениях если таковые присутствуют.

[hippie]

Это пространство неполное.

Ошибка в том, что Вы рассматриваете фундаментальность на действительной оси, а не в метрическом пространстве.

Последовательность фундаментальна в пространстве с данной метрикой, если при $n$ и $m$, независимо стремящихся к бесконечности, $\rho(x_n, x_m)\to 0$.

В Вашем примере, например, последовательность $x_n=n$ фундаментальна, поскольку при $n$ и $m$, независимо стремящихся к бесконечности, $\arctg (x_n)\to \frac{\pi}2$ и $\arctg (x_m)\to \frac{\pi}2$, а значит $\rho(x_n, x_m)=|\arctg (x_n)-\arctg (x_m)|\to (\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{2})=0$.
В то же время, если бы эта последовательность сходилась к некоторому $y,$ то выполнялось бы: $|\arctg (x_n)-\arctg(y)|\to 0$, т.е. $\arctg (y)=\frac{\pi}2$, что невозможно.

PS Попробуйте разобраться с похожим примером:
$X=\mathbb{R}; \quad \rho (x,y)=\arctg |x-y|$.
(В этом случае пространство уже полное.)

[wcgrume]

Спасибо за разъяснения, понял что тут к чему

[hippie]

Ещё один пример (точнее, целых 3 примера ), важный(!!!) для понимания темы.

Для каждого из трёх пространств ответить, является ли данное пространство метрическим, и, если "да", то ответить, является ли оно полным.

Метрика во всех трёх случаях одна и та же:
$\rho(x,y)=\sin|x-y|.$

А носитель меняется:
а) $X=(0;\pi)$ (интервал!);
б) $X=[0;\pi)$ (полуинтервал!);
в) $X=[0;\pi]$ (отрезок!).