2013 чисел

[Ktina]

На очень большой доске написали 2013 чисел: $1^2, 2^2, 3^2, \dots , 2013^2$.
На каждом шаге можно стереть два числа и выписать на доску модуль их разности.
Какое наименьшее число можно получить на 2012-ом шаге?

[TOTAL]

$5^2-(4^2-3^2-2^2-1^2)=23$
$(n+3)^2-(n+2)^2-(n+1)^2+(n)^2=4$
Поэтому можно получить $1$

[Ktina]

TOTAL в сообщении #530293 писал(а):

$5^2-(4^2-3^2-2^2-1^2)=23$
$(n+3)^2-(n+2)^2-(n+1)^2+(n)^2=4$
Поэтому можно получить $1$

Получить нуль нельзя из соображений чётности.
Я тоже получила 1, но весьма оригинальным образом. Первые 13 квадратов я поначалу не трогала. Остальные разбила на пары 14-15, 16-17, ..., 2012-2013. Из этих пар получила прогрессию 29, 33, 37, ..., 4025, а из этой прогрессии - 500 четвёрочек, а из них - нуль. Что осталось на доске?

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169 -> 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 25 -> 1, 4, 9, 16, 0, 36, 49, 64, 81, 100, 121 -> 1, 4, 9, 16, 0, 36, 49, 64, 81, 21 -> 1, 4, 9, 16, 0, 36, 49, 64, 60 -> 1, 4, 9, 16, 0, 36, 49, 4 -> 1, 4, 9, 16, 0, 36, 45 -> 1, 4, 9, 29, 0, 36 -> 1, 4, 9, 7, 0 -> 1, 4, 2, 0 -> 1, 2, 0 -> 1, 2 -> 1.

[hippie]

С квадратами как-то неинтересно .
А может, пусть это лучше будут кубы?

Итак:
На очень большой доске написали 2013 чисел: $1^3; 2^3; 3^3; \dots; 2013^3.$
На каждом шаге можно стереть два числа и выписать на доске модуль их разности.
Какое наименьшее число можно получить на 2012-ом шаге?

[hippie]

Если задача с кубами слишком сложная, то вот задача попроще (количество чисел изменилось!).

На очень большой доске написали 2113 чисел: $1^5; 2^5; 3^5; \dots; 2113^5.$
На каждом шаге можно стереть два числа и выписать на доске модуль их разности.
Какое наименьшее число можно получить на 2112-ом шаге?