Сечение тетраэдра плоскостью

[IIItepSeLb]

В тетраэдре $DABC$ точка $M$ - середина $AD$. $P$ принадлежит $DC$ и $DP:PC=1:3$ (DC так относится к PC, как 1 к 3). Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки $M$ и $P$ и параллельно $BC$ . Найдите площадь сечения, если все рёбра тетраэдра равны $a$.

Сечение я построил, получился маленький треугольник. Не уверен, что правильно:



А вот площадь я не могу найти. Только вот знаю что надо подобие треугольников использвовать, а вот каких и какой коэффициэнт подобия не могу узнать. Заранее спасибо за помощь.

[Praded]

Провести среднюю линию и по теореме косинусов найти $MP$. Можно также заметить, что $MP\perp CD$.
То же самое (по теореме косинусов) можно сделать из $\bigtriangleup MDP$.

[IIItepSeLb]

Не до конца понял по какой теореме косинусов. Поподробнее можете? И как узнать что $MP\perp CD$

[gris]

Тетраэдр правильный и $\angle ADC=60^{\circ}$
$MD$ и $DP$ известны, то есть по теореме косинусов для $\Delta MDP$ найдём $MP$. Покажите, что $MF=MP$.
Покажите, что $PF\parallel CB$ и найдите $PF$.
То есть в $\Delta MFP$ будут известны три стороны.
Но это такой лобовой путь решения.

[IIItepSeLb]

Так, теперь всё понятно. Щас попробую.
Не понятно от куда взять $\cos a$ (косинус альфа)? Он же не 60 градусов .

[gris]

В $\Delta MDP\quad\angle MDP=\angle ADC=60^{\circ}$

$MD=AD/2;\,PD=AD/?$

По теореме косинусов $MP^2=...$.

[IIItepSeLb]

И нифига опять не получилось

$MP$ =
И не туда, не сюда.

Можете сами до конца попробывать решить, пожалуйста

[gris]

Неправильно.
Напишите теорему косинусов для угла $\angle MDP$
Чему равняется $PD$?

[IIItepSeLb]

$a/4$ , всё я решил, спасибо :)

[gris]

Решив задачу, полезно вернуться к началу и посмотреть на неё другим вглядом. Вот, например, если бы мы провели, как советовал Praded, отрезок $ML$, где $L$ - середина $CD$, то заметили бы, что в равностороннем треугольнике $\triangle MDL$ отрезок $MP$ является и медианой и высотой и равен $\dfrac {a\sqrt 3}{4}$. И теорема косинусов не нужна. Ну и площадь треугольника можно по разному считать.
При решении других задач найденные приёмы могут пригодится.