Неявные кривые

[Curiousguy]

Здравствуйте дорогие специалисты!

Я не совсем понимаю смысл неявной кривой. На данный момент имею свое неявное соображение. Предоставлю его вам, а вы исправите меня и поясните смысл неявных кривых.

Так вот, имеется векторнозначная функция $f: I \longmapsto\mathbb R^n-1$

$f(t)=f_1,...,f_{n-1}$, где по параметру t строится множество векторов f(t) и рисуется кривая.

Известно что если взять координату x^1(t)=t, то мы придем к новому способу задания этой кривой $\gamma:I\longmapsto\mathbb R^n$ с координатами ${x^1}(t)=t,...,{x^n}(t)=f_{n-1}(t)$

Я так понял что неявные кривые связаны с обратной задачей, то есть наоборот кривую из пространства Rn мы представляем в R(n-1). А чтобы так сделать, мне кажется нужно просто какую-то координату убрать приравнивая ее к параметру t, а остальные просто видоизменить. Правильно ли я считаю, что из-за произвольности приравнивания координаты в t и кроется смысл неявных кривых?

[alcoholist]

1. Термин "неявная кривая" бессмыслен. Вероятно, речь идет о кривых, заданных в неявном виде.

2. Пусть кривая в $\mathbb{R}^n$ задана в неявном виде с помощью системы уравнений

$$ f_i(x_1,\ldots,x_n)=0,\quad i=1,\ldots,n-1. $$

Любая параметризация $(x_1(t),\ldots,x_n(t))$ этой кривой получается с помощью функции $f_n:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$, для которой определитель матрицы

$$ \left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right)_{i,j=1}^n $$

не равен нулю на исходной кривой, как решение системы уравнений

$$ f_1=0,\,f_2=0,\ldots,f_{n-1}=0,\,f_n=t. $$

[Curiousguy]

alcoholist в сообщении #529489 писал(а):

1. Термин "неявная кривая" бессмыслен. Вероятно, речь идет о кривых, заданных в неявном виде.

2. Пусть кривая в $\mathbb{R}^n$ задана в неявном виде с помощью системы уравнений

$$ f_i(x_1,\ldots,x_n)=0,\quad i=1,\ldots,n-1. $$

Любая параметризация $(x_1(t),\ldots,x_n(t))$ этой кривой получается с помощью функции $f_n:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$, для которой определитель матрицы

$$ \left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right)_{i,j=1}^n $$

не равен нулю, как решение системы уравнений

$$ f_1=0,\,f_2=0,\ldots,f_{n-1}=0,\,f_n=t. $$

То есть вы имеете ввиду

$$ \left(\frac{\partial f_i}{\partial x_j}\right)_{i,j=1}^{n-1} $$

[alcoholist]

Опечаток нет.

Пример.
Кривая на плоскости задана уравнением $f_1(x,y)=x^2+y^2-1=0$.

1a) Параметризуем кривую с помощью функции $f_2(x,y)=x$.

2a) Область, в которой такая параметризация возможна:

$$ \det\left(\begin{array}{ll} \frac{\partial f_1}{\partial x}& \frac{\partial f_1}{\partial y}\\ &\\ \frac{\partial f_2}{\partial x}& \frac{\partial f_2}{\partial y} \end{array}\right)=\det\left(\begin{array}{ll} 2x& 2y\\ 1& 0 \end{array}\right)=-2y\ne 0. $$

На дуге кривой, на которой $y\ne 0$, параметризацию найдем из системы

$$ x^2+y^2-1=0,\quad x=t $$

т.е. $(x(t),y(t))=(t,\pm\sqrt{1-t^2})$ -- знаки $\pm$ соответствуют тому, что таких (максимальных) дуг две.

1б) Параметризуем эту же кривую с помощью функции $f_2(x,y)=x^2-y^2$.

2б) Область, в которой такая параметризация возможна:

$$ \det\left(\begin{array}{ll} \frac{\partial f_1}{\partial x}& \frac{\partial f_1}{\partial y}\\ &\\ \frac{\partial f_2}{\partial x}& \frac{\partial f_2}{\partial y} \end{array}\right)=\det\left(\begin{array}{ll} 2x& 2y\\ 2x& -2y \end{array}\right)=-8xy\ne 0. $$

На дуге кривой, на которой $xy\ne 0$, параметризацию найдем из системы

$$ x^2+y^2-1=0,\quad x^2-y^2=t $$

т.е. $(x(t),y(t))=(\pm\sqrt{(1+t)/2},\pm\sqrt{(1-t)/2})$ -- знаки $\pm$ соответствуют тому, что таких (максимальных) дуг четыре

[Curiousguy]

Огромное вам спасибо!

-- 22.01.2012, 12:05 --

Стоп, вопрос! Ведь в вашем примере вы описали окружность, но ее нельзя представить как кривой-граффик...

[AKM]

Curiousguy в сообщении #529793 писал(а):

как кривой-граффик...

Выражайтесь точнее. Это и разобраться помогает.
Её нельзя представить как что?

[Curiousguy]

Определение кривой-графика:

Пусть $f:I$\to$$\mathbb R^{n-1}$$ - векторнозначная гладкая функция. Тогда ее график $G_{f}=\{(t,f(t) \mid t \in I\}\subset \mathbb R^n $ называется кривой-графиком в пространстве $\mathbb R^n$

-- 22.01.2012, 14:26 --

Тут дело наверное в том что не каждая неявная кривая является кривой-графиком...

[AKM]

Ну да. $y_{1,2}(x)=\pm\sqrt{1-x^2}$. Два кривых графика. Или как оно там правильно говорится...

[alcoholist]

Curiousguy в сообщении #529822 писал(а):

Тут дело наверное в том что не каждая неявная кривая является кривой-графиком...

А при чем тут вообще графики функций?

[Kallikanzarid]

Curiousguy в сообщении #529793 писал(а):

Стоп, вопрос! Ведь в вашем примере вы описали окружность, но ее нельзя представить как кривой-граффик...

Докажите

[alcoholist]

Что тут доказывать? Проекция окружности на любую прямую не является инъективным отображением.

[Kallikanzarid]

alcoholist
Я имел ввиду невозможность вложения окружности в прямую, следствие из Борсука-Улама