Есть ли мера у конечного множества?

[DDS]

Наверное, должна быть, но по-моему не то ищу. Можно ли привести тривиальный пример? Вроде этого: "пусть дано множество {1,2,3,4} и его подмножество ... мера вводится так ... для выбранного подмножества мера равна тому-то".

[Nimza]

Вы знаете определение меры? На конечном множестве можно привести как пример считающую меру: число элементов во множестве. Или припишите каждому элементу "вес". И мерой будет сумма весов отдельных элементов.

[arseniiv]

Ещё один известный пример. Вероятность — мера. Так что можно сделать из $\{1, 2, 3, 4\}$ любым способом вероятностное пространство и наслаждаться.

К примеру, вот так:

$$\begin{array}{|c|c|} \hline n & \mathsf P(\{n\}) \\\hline 1 & 0 \\ 2 & 1/3 \\ 3 & 1/6 \\ 4 & 1/2 \\\hline \end{array}$$

Тогда $\mathsf P(\{1, 2, 3\}) = 1/2$.

[PAV]

Любая мера на практике вводится одинаково: она определяется на некоторой удобной совокупности "простых" множеств, откуда по своим свойствам продолжается на все, на которые это удается сделать единственным образом. Для борелевских множеств в качестве порождающей системы удобно брать, например, полуинтервалы (в теории вероятностей это называется функцией распределения). А для конечного (и даже счетного) множества все совсем просто - достаточно действительно определить меру каждого отдельного элемента, и все готово.

[DDS]

Спасибо всем за ответы.

Я сейчас читаю про меры. Мне вот что непонятным кажется, мы вводим сигма-алгебры, и пример сигма-алгебры даётся на основе множества {1,2,3}. Про сигма-алгебры я понял. Разных алгебр может быть много (для конечных множеств - несколько). Затем вводится Жорданова и Лебегова меры и мы сразу говорим о более мощных чем {1,2,3} несчетных множествах. Этот вот переход я не понимаю. Зачем сигма-алгебра, если само определение меры ей "не пользуется"? Пользуется Лебегов интеграл. Что она нам такого дает, что мы смогли перейти от конечных множеств к бесконечным?

Было бы хорошо, если бы в книге было написано что-то типа возьмем такое множество построим на нем меру, выберем подмножество и посчитаем его меру, сначала берём самое простое - конечное множество, строим меру и применяем, потом счетное, опять строим меру и применяем, потом отрезок прямой и т.п. Обычно на английской википедии бывают хорошие примеры в статьях по математике, но не в этот раз. Может я не то ищу?

[Nimza]

DDS в сообщении #529613 писал(а):

Зачем сигма-алгебра, если само определение меры ей "не пользуется"? Пользуется Лебегов интеграл. Что она нам такого дает, что мы смогли перейти от конечных множеств к бесконечным?

1. В конечном и счетном случае мы можем задать меру на отдельных элементах, как сказал PAV. В несчётном случае эта возможность пропадает (вообще говоря, не всегда, на этот случай есть вариант теоремы Улама, но можно считать, что обычно пропадает).

2. Какая область определения у меры? Некоторая система подмножеств исходного множества. Удобно, чтобы она удовлетворяла некоторым свойствам замкнутости (по объединению, пересечению и т.д.). Формально для этого достаточно алгебры, но пока мы не захотим работать с непрерывными мерами. Поэтому областью определения меры обычно берут сигма-алгебру (в теории вероятностей например).