2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Интересная функция
Сообщение20.01.2012, 17:25 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Для каждого натурального $n$ определим функцию $f:\mathbb N\to{\mathbb N}$ следующим образом:
$f(n)=m^2+m+1$, где $2^m$ - наибольшая степень двойки, на которую делится $n$.
Найти наименьшее $n$, для которого $f(1)+f(2)+\dots +f(n)\ge 123456$

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная функция
Сообщение20.01.2012, 18:28 
Заслуженный участник


18/01/12
933
$n = 2^{14}+2^{13}+2^{7}+2^{2}+2^{1} = 24710$

При таком $n$ указанная сумма в точности равна 123456.

 Профиль  
                  
 
 Re: Интересная функция
Сообщение20.01.2012, 18:36 
Заслуженный участник


09/02/06
4401
Москва
Если $S(n)=f(1)+...+f(n)$, то $S(2^k)=2S(2^{k-1})+2k\to S(2^k)=5*2^k-2k-4$.
Взяв двоичное представление $n=\sum_ia_i*2^i$ получаем $S(n)=S(\sum_i a^i*2^i)=\sum_i a_i(5*2^i-2i-4)=5n-2\sum_Ia_i(i+2)=5n-2a-4b$, где $a-$ сумма номеров позиций двоичных цифр, $b-$ количество ненулевых разрядов или (эквивалентно) сумма цифр в двоичном исчислении $n$. Отсюда уже вычисляется любое соотношение.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group