Непонятные утверждения про дельта-функцию

[Olga_Y]

В учебнике Савельева по теоретической физике том2 написано, что

$\delta\left(-x\right)=\delta(x)$

Не могу понять это. По определению $\left(\delta, f\right)=\int {\delta\left(x\right)\,f\left(x\right)}{\;dx} =f\left(0\right)$ (Пределы интегрирования опустил)

Положим, что $x= \sigma\left(t\right) = -t$ и воспользуемся тем, что

$\int {f\left(x\right)} {\;dx} = \int {f\left(\sigma\left(t\right)\right) \, {{d}\over{d\,t}}\,\sigma\left(t\right) } {\;dt} $

Следовательно, так как ${{d\,\sigma}\over{d\,t}} = -1$

$\left(\delta\left(-x\right), f\left(x\right)\right) = \int {\delta\left(-x\right)\,f\left(x\right)}{\;dx} = \int {\delta\left(-\left(-t\right)\right)\, f\left(-t\right)\, \left(-1\right)} {\;dt} = -1\,\int {\delta \left(t\right)\,f\left(-t\right)}{\;dt} $

Последнее равно $-f\left(0\right)$

Тогда как понять первое утверждение?

[RIP]

Olga_Y в сообщении #528733 писал(а):

(Пределы интегрирования опустил)

Не надо было опускать — тогда бы и вопрос бы не возник, скорее всего.

[Olga_Y]

RIP в сообщении #528776 писал(а):

Olga_Y в сообщении #528733 писал(а):

(Пределы интегрирования опустил)

Не надо было опускать — тогда бы и вопрос бы не возник, скорее всего.

Ох же ж. Невнимательность значит просто)

[Toucan]

Переехали в учебный раздел

[Nimza]

А как это "свойство" вообще используется? Не нравится что-то оно мне, особенно потому, что аргумент у дельта-функции вообще не имеет того смысла, который имеют аргументы обычных функций и что-либо вроде $\delta(x-a)$ это просто сокращенная запись для функционала $\langle \delta_{a} (x), f(x) \rangle = f(a)$. Посмотрел Савельева, у него ещё есть $\delta(ax) = \frac{1}{|a|} \delta(x)$ и он это доказывает. Имеет ли это вообще смысл? Последнее равенство я всегда воспринимал как удобное обозначение.

[profrotter]

Olga_Y в сообщении #528733 писал(а):

Тогда как понять первое утверждение?

Так и понять, что имеет место перегруженность термина "$\delta$ - функция". С одной стороны дельта-функцией называют обобщённую функцию (линейный функционал): $\Delta(\varphi)=(\delta,\varphi)=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\delta(x)\varphi(x)dx=\varphi(0)$, а с другой стороны дельта- функцией $\delta(x)$ называют бесконечно короткую и высокую "функцию" с единичной площадью под графиком, которая обладает свойством чётной симметрии $\delta(x)=\delta(-x)$ и которая, находясь не под знаком интерала, будто бы не имеет смысла, что, впрочем, не мешает говорить, например, о её преобразовании Фурье и тд и тп.

[ИСН]

Некоторые прилагательные, будучи приложены к некоторым сущ... Тьфу, короче, запомните так: обобщённая функция - это не функция. Тупо НЕ. С ней можно делать те же вещи, что и с функцией, но не все.
А вот, например, условная сходимость - это таки да, сходимость. А кислота Льюиса - это никакая не кислота. Поди пойми этого русский языка...

[svv]

$\delta\left(-x\right)=\delta(x)$
Это просто значит, что $\langle \delta (x), f(x) \rangle = \langle \delta (x), f(-x) \rangle$.