Нечётные суммы по строкам и по столбцам

[Ktina]

Сколькими различными способами можно расставить в таблице $3\times 3$ числа 1, 2, …, 9 таким образом, чтобы все суммы чисел по строкам и столбцам были нечётными?
(К. Кноп)

[Cash]

Требуемая расстановка получится тогда и только тогда, когда нечетные числа заполняют ровно один "крест" - строка+столбец. 9 крестов, $5!=120$ вариантов заполнения креста, $4!=24$ варианта заполнения оставшегося места четными числами. Итого 25920 вариантов.

[Ktina]

Cash в сообщении #528792 писал(а):

Требуемая расстановка получится тогда и только тогда, когда нечетные числа заполняют ровно один "крест" - строка+столбец. 9 крестов, $5!=120$ вариантов заполнения креста, $4!=24$ варианта заполнения оставшегося места четными числами. Итого 25920 вариантов.

У меня тоже 25920 вышло. Чётные должны идти только парами, в противном случае в строке, в которой 1 или 3 чётных числа, сумма будет чётная. Но если в некоторой строке есть чётное число, тогда в другой строке должно стоять чётное в том же столбце. Но у нас всего 4 чётных числа, таким образом они обязаны быть вершинами некоторого прямоугольника (их всего 9). Если прямоугольник выбран, чётные в его вершинах можно расставить $4!=24$ способами, а нечётные - в оставшемся пятиклеточье - ровно $5!=120$ способами. Итого $9\cdot 24\cdot 120=25920$ способов.