Производные обратных функций -- по определению

[integral2009]

Можно ли посчитать производные обратных тригонометрических функций по определению?

$f'(x) = \lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

Допустим мы хотим посчитать

$\big(\arcsin x\big)' = \lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\arcsin(x+\Delta x)-\arcsin(x)}{\Delta x}$

Если бы я знал формулу арксинуса суммы, то может бы это чем-то помогло (а такая есть?)

Понимаю, что можно посчитать используя теорему о дифференцировании обратной функции, но так не интересно) Хочется по определению. Или так не получится?

[Someone]

Обозначьте $t=\arcsin x$, $t+\Delta t=\arcsin(x+\Delta x)$, выразите всё через $t$ и $\Delta t$.

[integral2009]

Someone в сообщении #528598 писал(а):

Обозначьте $t=\arcsin x$, $t+\Delta t=\arcsin(x+\Delta x)$, выразите всё через $t$ и $\Delta t$.

Спасибо! Только в конце получился знак $\pm$ почему-то. А для тругих обратных функций -- нужно делать аналогично?

1) $\Delta t=\arcsin(x+\Delta x)-\arcsin x$

2) $t+\Delta t=\arcsin(x+\Delta x)$

$\sin(t+\Delta t)=x+\Delta x$

$x=\sin t$

$\Delta x=\sin(t+\Delta t)-\sin t$

3)

$$\big(\arcsin x\big)' = \lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{\arcsin(x+\Delta x)-\arcsin(x)}{\Delta x}= \lim\limits_{\Delta t\to 0}\dfrac{\Delta t}{\sin(t+\Delta t)-\sin t}=$$

$$=\lim\limits_{\Delta t\to 0}\dfrac{\Delta t}{\sin t\cos\Delta t +\sin\Delta t\cos t-\sin t}=\lim\limits_{\Delta t\to 0}\dfrac{\Delta t}{\sin t +\sin\Delta t\cos t-\sin t}=\lim\limits_{\Delta t\to 0}\dfrac{\Delta t}{\sin\Delta t\cos t}=\dfrac{1}{\cos t}=$$

$$=\dfrac{1}{\pm\sqrt{1-\sin^2t}}=\dfrac{1}{\pm \sqrt{1-x^2}}$$

А как объяснить знак плюс?

[arseniiv]

Арксинус как, по-вашему, монотонная функция? А убывает или возрастает?

-- Чт янв 19, 2012 02:28:37 --

Не, знак можно (и нужно) проще объяснить. Поглядите на область значений арксинуса. Какой знак на ней у косинуса?

[integral2009]

arseniiv в сообщении #528619 писал(а):

Арксинус как, по-вашему, монотонная функция? А убывает или возрастает?

Я могу сказать, что она (функция $y=\arcsin x$) возрастает, потому что производная больше нуля. А мне как раз нужно доказать, что она больше нуля))))

-- Ср янв 18, 2012 23:31:17 --

А есть ли такая формула $\arcsin(x+y)=...$ ?

-- Ср янв 18, 2012 23:32:12 --

arseniiv в сообщении #528619 писал(а):

Не, знак можно (и нужно) проще объяснить. Поглядите на область значений арксинуса. Какой знак на ней у косинуса?

Ясно, теперь понятно, спасибо!

[arseniiv]

(Я там немного добавил в сообщение. Первое теперь не читайте.)

Так ведь возрастание/убывание определяются не через производные. Хотя потом доказываются разные вещи, их связывающие. Так что возрастание вы бы и без производной могли узнать! Но это, и правда, не нужно.

-- Чт янв 19, 2012 02:36:30 --

(Оффтоп)

integral2009 в сообщении #528621 писал(а):

А есть ли такая формула $\arcsin(x+y)=...$ ?

Как раз, увидя вашу тему, я решил поколдовать с уравнениями. Ничего из головы умного не вышло. Взял Mathematica, но та такие страшные радикалы вывела, что лучше об этом не думать.

[Someone]

integral2009 в сообщении #528611 писал(а):

$$\ldots=\lim\limits_{\Delta t\to 0}\dfrac{\Delta t}{\sin t\cos\Delta t +\sin\Delta t\cos t-\sin t}=\lim\limits_{\Delta t\to 0}\dfrac{\Delta t}{\sin t +\sin\Delta t\cos t-\sin t}=\ldots$$

Это равенство требует обоснования. Вообще, при вычислении пределов нельзя заменять слагаемые эквивалентными им.
Стандартно преобразовывают $\sin(t+\Delta t)-\sin t$ в произведение и используют первый замечательный предел, который доказывается раньше с использованием свойств пределов и геометрических соображений.

[ewert]

integral2009 в сообщении #528593 писал(а):

Понимаю, что можно посчитать используя теорему о дифференцировании обратной функции, но так не интересно)

У Вас неправильные интересы, и они несут неправильный мёд. Общие теоремы в математике как раз тем и интересны, что позволяют получать нужный результат на автомате, не отвлекаясь на никому не нужные частности.

[integral2009]

Цитата:

Это равенство требует обоснования. Вообще, при вычислении пределов нельзя заменять слагаемые эквивалентными им.

А почему? Я думал, что правила эквивалентности -- это фактически тоже самое, что замечательные пределы (просто в ином ракурсе). А обоснование какое нужно? Нужно O-большое добавлять?

-- Чт янв 19, 2012 02:33:46 --

arseniiv в сообщении #528624 писал(а):

(Я там немного добавил в сообщение. Первое теперь не читайте.)

Так ведь возрастание/убывание определяются не через производные. Хотя потом доказываются разные вещи, их связывающие. Так что возрастание вы бы и без производной могли узнать! Но это, и правда, не нужно.

-- Чт янв 19, 2012 02:36:30 --

(Оффтоп)

integral2009 в сообщении #528621 писал(а):

А есть ли такая формула $\arcsin(x+y)=...$ ?

Как раз, увидя вашу тему, я решил поколдовать с уравнениями. Ничего из головы умного не вышло. Взял Mathematica, но та такие страшные радикалы вывела, что лучше об этом не думать.

Ок, спасибо!

-- Чт янв 19, 2012 02:34:15 --

ewert в сообщении #528646 писал(а):

integral2009 в сообщении #528593 писал(а):

Понимаю, что можно посчитать используя теорему о дифференцировании обратной функции, но так не интересно)

У Вас неправильные интересы, и они несут неправильный мёд. Общие теоремы в математике как раз тем и интересны, что позволяют получать нужный результат на автомате, не отвлекаясь на никому не нужные частности.

Ну это да))

[ewert]

integral2009 в сообщении #528683 писал(а):

Я думал, что правила эквивалентности -- это фактически тоже самое, что замечательные пределы (просто в ином ракурсе).

Это правда, но только когда речь о сомножителях. При сложении же столь легкомысленным быть не следует, т.к. главные члены могут сократиться.

[integral2009]

ewert в сообщении #528721 писал(а):

integral2009 в сообщении #528683 писал(а):

Я думал, что правила эквивалентности -- это фактически тоже самое, что замечательные пределы (просто в ином ракурсе).

Это правда, но только когда речь о сомножителях. При сложении же столь легкомысленным быть не следует, т.к. главные члены могут сократиться.

Ок, хорошо, спасибо. А бывают ли такие ситуации, когда можно пользоваться замечательным пределом, а правилами эквивалентностей -- нельзя?