Число из одних четвёрок и марсианская последовательность

[Ktina]

Марсианской называется последовательность, первый член которой - некоторый примориал, второй член - некоторый (возможно, отличный от первого) примориал, увеличенный на единичку, а каждый член, начиная с третьего, равен числу, образуемому двумя последними десятичными цифрами суммы двух предыдущих членов (если первая - нуль, она отбрасывается).
Например: 6, 31, 37, 68, 5, 73, ...

Существует ли марсианская последовательность, десятичная запись суммы квадратов первых $n$ членов которой содержит только четвёрки?

-- 14.01.2012, 23:06 --

Очень дико извиняюсь, я перепутала первый член со вторым, в смысле, поменяла их местами.
Должно быть так: первый член - примориал, увеличенный на единичку, а второй - примориал.
Например: 31, 6, 37, 43, 80, 23, ...

[hippie]

Если оба примориала берутся от чисел больших 1, то сумма квадратов первых n членов последовательности кратна 4 тогда и только тогда, когда она кратна 8 (а именно, при n кратных 6), и, следовательно, не может записываться только четвёрками.

Если второй элемент последовательности равен 1(= 1#), то при любом возможном значении первого элемента сумма квадратов первых n членов последовательности не может давать остаток 44 при делении на 400 (установлено с помощью перебора на компьютере). Следовательно, в этом случае сумма квадратов первых n членов последовательности записывается одними четвёрками только в тривиальном случае: n=1; первый элемент равен 2(= 1# + 1).

Если первый элемент равен 2(= 1# + 1), то при n=1 сумма квадратов первых n членов последовательности равна 4, т.е. записывается только четвёрками. Найдутся ли другие n, зависит от второго элемента последовательности.
Так при втором элементе равном 2(= 2#); 6(= 3#); 30(= 5#) или 210(= 7#) и n>1 сумма квадратов первых n членов последовательности не может записываться только четвёрками. (Также установлено с помощью компьютера.)
А при втором элементе равном 2310(= 11#) сумма квадратов первых 13603816
членов последовательности равна 44444444444. (При этом существует бесконечно много других n, при которых сумма квадратов первых n членов этой последовательности записывается только четвёрками.)

Общий ответ, при каких значениях второго элемента существует такое n>1, что сумма квадратов первых n членов последовательности записывается только четвёрками мне найти пока не удалось. Так же, как и определить, при каких n существует требуемая последовательность.

[Ktina]

hippie, Вы очень красиво всё сделали, респект!
Только дело в том, что я опиралась на определение примориала, данное здесь: http://mathworld.wolfram.com/Primorial.html .
Посему, упустила из виду существование пустого произведения. Таким образом, достаточно было бы и двух первых строк Вашего решения.

(Оффтоп)

Но, всё равно, респект!