Доказать утвержение(формулу) Численные методы

[Alexeybk5]

Здравствуйте, и опять они ЧМы.

Есть задача:
------------------------
Положим, что $x_0 \in R, \, h \in R^+,\, x_i=x_0+ih,\, i=-1,0,1$
и f - функция, имеющая порядок непрерыности 2 на отрезке $[x_{-1} ,x_1]$

Рассмотрим следующую формулу численного интегрирования

$$\int_{x_{-1}}^{x_1} f(x)dx \approx 2hf(x_0)$$

Имеем P - полином,вида

$P(x)=f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0).$

Рассмотрим функцию В, которую мы представим в виде

$B(x)=f(x)-P(x),\, \all x \in [x_{-1}^{1},x_1]$


Выразить B(x) в терминах второй производной функции $f$ и определить константу $k \in R$, чтобы соответствовало формуле

$$\int_{x_{-1}}^{x_1} f(x) dx = 2h f(x_0)+kh^3 f''(d), \,d \in (x_{-1},x_1)$$

---------------------------------------


я пытался решить задачу следующим способом :
подставляя в

$B(x)=f(x)-P(x)$ значение
$P(x)=f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0).$
после чего выражал функцию f(x)

$f(x)=B(x)+ f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0).$ и брал интеграл от функции

$\int_{x_{-1}}^{x_1} f(x) dx = \dots = \int_{x_{-1}}^{x_1} B(x)dx + 2hf(x_0)+f'(x_0)[2h^2-2hx_0] $
где $x_1=x_0-h, \, x_1=x_0+h$

и после этого сравнивая полученный интеграл с тем, что от нас хотят:

$\int_{x_{-1}}^{x_1} f(x) dx = \int_{x_{-1}}^{x_1} B(x)dx + 2hf(x_0)+f'(x_0)[2h^2-2hx_0] $
$\int_{x_{-1}}^{x_1} f(x) dx = 2h f(x_0)+kh^3 f''(d), \,d \in (x_{-1},x_1)$

заметил, что нефига я из этого не могу получить...

Подскажите пожалуйста, может быть есть более разумные ходы для решения/докащательства этой задачи ?

Спасибо

п.с. полагаю, что подсказка может крытся в первой букве этого номера, а именно там требовалось доказать, что

$$\int_{x_{-1}}^{x_1} f(x)dx \approx 2hf(x_0)$$

верно если f это полином степени меньше или равный одному,(что доказывается очень лего, тупо подстановкой$ f(x) = ax+b $ )
может быть и вторая буква( о которой я сейчас спрашиваю) тоже имеет предположение, что f это полином степени один и можно считать что

$$\int_{x_{-1}}^{x_1} f(x)dx = 2hf(x_0)$$

´
?

[Circiter]

2Alexeybk5
Я тоже попробовал взять тот интеграл от $B(x)+f(x_0)+(x-x_0)f'(x_0)$, получилось $\int_{x_0-h}^{x_0+h}B(x)dx+2hf'(x)$. Перепроверьте ваши выкладки (хотя, может быть у вас все верно). Воть. Оставшийся интеграл согласно вашему предположению о релевантности формулы $\int_{x_{-1}}^{x_1}f(x)dx\approx 2hf(x_0)$ приближается как $\int_{x_0-h}^{x_0+h}B(x)dx\approx 2hB(x_0)$. Теперь сюда бы подставить результат из вот этого подзадания:

Цитата:

Выразить B(x) в терминах второй производной функции $f$

А вдруг получится? Там как раз $h^2$ должно появиться...

[ewert]

Это называется формулой центральных прямоугольников. Явная оценка погрешности для неё получается весьма тупо -- просто выписыванием двух первых членов формулы Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:

$f(x)=f(x_0)+(x-x_0)\,f'(x_0)+\dfrac{(x-x_0)^2}{2}\,f''\big(c(x)\big).$

Теперь при интегрировании второе слагаемое исчезнет в силу симметрии, а к интегралу от третьего надо применить теорему о среднем -- ровно то, что нужно, и выйдет.

Только два момента. Во-первых: ну при чём тут многочлены-то?... И во-вторых:

Alexeybk5 в сообщении #528158 писал(а):

и f - функция, имеющая порядок непрерыности 2

Откуда такая дикая терминология? Все нормальные люди говорят "дважды непрерывно дифференцируемая" или что-то вроде.

[Alexeybk5]

ewert, спасибо, Ваш метод интереснее))
но тут можно тупо подставить, как предложил Circiter ( Вы совершенно правы, тот член должен сокращатся, я совершил ошибку при взятии интеграла )
и потом пользуясь формулой данной нам в первой букве, получаем, что

$B(x_0)=\frac{k h^2 f''(d)}{2}$

Тогда получается, что к может быть любым ненулевым вещественным числом?

[Alexeybk5]

Circiter , извините, я не хотел Вас обидеть, слово "тупо" я просто неудачно использовал