Сколько времени будет скатываться без скольжения обруч

[Gees]

Здравствуйте.
Вообще, грубо говоря, прочитав условие этой задачи впал в жуткое непонимание условия.Какие идеи у кого-нибудь возникли в голове, поделитесь пожалуйста, какие идеи и Ваши мысли??? Я вот, например, подумал про геометрические особенности наклонной плоскости, когда прочитал условие целиком.
Есть идейки у кого??? ???
Сколько времени ${t}$ будет скатываться без скольжения обруч с наклонной плоскости длиной ${l}={2}$ м и высотой ${h}={10}$ см?

[rustot]

Обруч под действием силы тяжести разгоняется по наклонной плоскости и через какое-то время достигнет конца наклонной плоскости. Вроде ясное условие.

В отличие от бруска, соскальзывающего по наклонной плоскости нужно учитывать вращательное движение обруча, которое имеет дополнительную кинетическую энергию

[Gees]

rustot в сообщении #528150 писал(а):

Обруч под действием силы тяжести разгоняется по наклонной плоскости и через какое-то время достигнет конца наклонной плоскости. Вроде ясное условие.

В отличие от бруска, соскальзывающего по наклонной плоскости нужно учитывать вращательное движение обруча, которое имеет дополнительную кинетическую энергию

А чем отличается брусок от обруча, скатываясь по наклонной плоскости??? ???
Значит по второму закону Ньютона составить уравнение движения обруча??? ???
Речь идёт о теореме Штейнера??? ???

[rustot]

вращением, моментом инерции, дополнительной кинетической энергией. то есть медленнее катится чем брусок соскальзывает, если последний без трения

[phys]

Теорема Штейнера тут не причем, ознакомьтесь хотя бы что это.

Пишите закон сохранения энергии.
- Напишите сначала сколько энергии в системе в начальный момент времени, когда все покоиться, обруч на плоскости.
- Потом, сколько энергии в нижней точке, когда обруч скатиться.
Учтите, что энергия при плоском движении по теореме Кёнига распределяется на кин. энергию от скорости центра масс и кин. энергию вращения вокруг оси, проходящей через центр масс.

Приравняйте одно другому.

Ознакомьтесь с понятием "мгновенный центр скоростей", оно же "мгновенная ось вращения", это будет необходимо для выражения угловой скорости через скорость центра масс.

И давайте так - вы сначала думаете - а потом пишете, а не как обычно, сначала 3 страницы угадываний, а потом решение.

[Gees]

rustot в сообщении #528161 писал(а):

вращением, моментом инерции, дополнительной кинетической энергией. то есть медленнее катится чем брусок соскальзывает, если последний без трения

А откуда берётся дополнительная кинетическая энергия??? ???

[whiterussian]

Gees в сообщении #528168 писал(а):

А откуда берётся дополнительная кинетическая энергия??? ???

Вы издеваетесь? Вы учебник хоть открывали? Нет, лучше так: вы катящийся обруч видели?

[Gees]

whiterussian в сообщении #528170 писал(а):

Вы издеваетесь? Вы учебник хоть открывали? Нет, лучше так: вы катящийся обруч видели?

При скатывании обруч участвует в двух движениях: в поступательном и вращательном вокруг своего центра масс.
При скатывании его центр масс должен опуститься на высоту ${h}$, cледовательно его потенциальная энергия уменьшится на величину ${W_p}={m}\cdot{g}\cdot{h}$, а полная кинетическая энергия возрастёт на эту же величину. Значит можно найти линейную скорость точек колеса: $\dfrac{{m}\cdot{v}^{2}}{2}+\dfrac{{J}\cdot{\omega}^{2}}{2}={m}\cdot{g}\cdot{h}; {\omega}=\dfrac{v}{R}; {J}={m}\cdot{{R}^{2}}; {m}\cdot{{v}^{2}}={m}\cdot{g}\cdot{h}; {v}={{g}\cdot{h}}^{\frac{1}{2}}$.
Время скатывания можно найти по фомуле: ${t}=\dfrac{V}{{g}\cdot{\sin{\alpha}}}; {\sin{\alpha}}=\dfrac{h}{l}; {V}={2}\cdot{v}$, где (${R}$ - радиус обруча, ${J}$ - момент инерции обруча ,${m}$ - масса обруча, ${V}={2}\cdot{v}$ - скорость движения центра масс обруча). Интересно получается!!! При свободном падении время падения будет: ${t}={(\dfrac{{2}\cdot{h}}{g})}^{\frac{1}{2}}$ с.
В случае двух движений время падения увеличивается, ${t}={4} с.

[rustot]

Конечная скорость $v= \sqrt{g h}$ - правильно, это собственно была единственная сложность в задаче.

А откуда потом опять всплыло $g$ - загадка. У вас же на руках были уже конечная скорость и путь, при равноукоренном движении, найти время, 6-й класс.

[Gees]

rustot в сообщении #528225 писал(а):

Конечная скорость $v= \sqrt{g h}$ - правильно, это собственно была единственная сложность в задаче.

А откуда потом опять всплыло $g$ - загадка. У вас же на руках были уже конечная скорость и путь, при равноукоренном движении, найти время, 6-й класс.

1).Предположим, что обруч, находясь в верхней точке наклонной плоскости, обладает нулевой скоростью. Тогда его кинетическая энергия равна нулю, а потенциальная энергия равна ${m}\cdot{g}\cdot{h}$, где ${m}$ - масса обруча, ${g}$ - ускорение свободного падения, ${h}$ - высота наклонной плоскости.

2).В нижней точке наклонной плоскости потенциальная энергия обруча равна нулю, а кинетическая, как известно из кинематики плоскопараллельного движения, равна сумме кинетических энергий поступательного движения центра масс обруча и вращательного движения обруча вокруг центра масс, то есть $\dfrac{{m}\cdot{{v}^{2}}}{2}+\dfrac{{J}\cdot{{\omega}}^{2}}{2}$, где ${v}$ - скорость поступательного движения центра масс обруча в нижней точке наклонной плоскости (то есть в конце движения), ${J}$ - момент инерции обруча относительно оси вращения.

3).Согласно закону сохранения, потенциальная энергия обруча в начале движения равна его кинетической энергии в конце движения, то есть
${m}\cdot{g}\cdot{h}=\dfrac{{m}\cdot{{v}^{2}}}{2}+\dfrac{{J}\cdot{{\omega}}^{2}}{2}$ ...(1)

4).Для момента инерции обруча относительно оси вращения применим формулу для тонкого кольца:
${J}={m}\cdot{{R}^{2}}$ ...(2),
где ${R}$ - радиус обруча.
Кроме того,
${\omega}=\dfrac{v}{R}$ ...(3)

5).Подставим выражения (2) и (3) в формулу (1) и выполним необходимые преобразования:
${m}\cdot{g}\cdot{h}=\dfrac{{m}\cdot{{v}^{2}}}{2}+\dfrac{{m}\cdot{{R}^{2}}\cdot{\dfrac{{v}^{2}}{{R}^{2}}}}{2}\Rightarrow{g}\cdot{h}=\dfrac{{v}^{2}}{2}+\dfrac{{v}^{2}}{2}={{v}^{2}}\Rightarrow{v}=\sqrt{{g}\cdot{h}}$ - скорость центра масс обруча в конце движения.

6).Таким образом, в ходе движения обруча по наклонной плоскости его скорость равномерно возрастает от нуля до
${v}=\sqrt{{g}\cdot{h}}$. Средняя скорость составляет ${v_{cr}}=\sqrt{\dfrac{{g}\cdot{h}}{2}}$, следовательно при длине наклонной плоскости, равной ${L}$, обруч будет скатываться с неё в течение времени:
${t}=\dfrac{{2}\cdot{L}}{\sqrt{{g}\cdot{h}}}$,
что при ${L}={2}$ м, ${h}={10}$ см $={0,1}$ м даёт
${t}=\dfrac{{2}\cdot{2}}{\sqrt{{9,81}\cdot{0,1}}}\approx{4,0}$ секунды.

Ответ: ${4}$ секунды.