Не квадрат и не куб? (из олимпиад ГДР, в переработке)

[Ktina]

В десятичной записи натурального числа ровно 2012 цифр, не более одной из которых - не пятёрки.
Может ли такое число быть

а) квадратом

б) кубом

целого числа?

[nnosipov]

Ktina в сообщении #527103 писал(а):

не более одной из которых - не пятёрки

Т.е. все пятёрки, кроме, быть может, одной?

[Ktina]

nnosipov в сообщении #527111 писал(а):

Ktina в сообщении #527103 писал(а):

не более одной из которых - не пятёрки

Т.е. все пятёрки, кроме, быть может, одной?

Так точно

[MrDindows]

Для квадрата.
Так как число не может оканчиваться на 55 ( остаток 3 при делении на 4 не свойствен квадратам), то наша цифра либо последняя либо предпоследняя. Соответственно если она последняя, то это может быть: 2, 3, 6, 7.
По признаку делимости на 11, эта цифра может быть 6, 9, 3, 8, 5.
По признаку делимости на 9, эта цифра может быть 7, 8, 5, 2.
Множества не имеют общего элемента.
Если эта цифра - предпоследняя, то это может быть 0, 2, 4, 6, 8.
По признаку делимости на 9, эта цифра может быть 7, 8, 5, 2.
По признаку делимости на 11, эта цифра может быть 4, 1, 7, 0, 2, 5.
Значит это должна быть двойка.
5555...5525 - является ли это квадратом натурального числа?
Покажем, что не может быть цифра 5 - третей с конца.
$(100a+10b+5)^2 \equiv 100b^2+100b+25 \ (\mod 1000) $
Значит $b^2+b$ должно заканчиваться на 5, а это импасибл, так как оно чётное.

[Батороев]

Можно немного сократить:

MrDindows в сообщении #527782 писал(а):

Так как число не может оканчиваться на 55 ( остаток 3 при делении на 4 не свойствен квадратам), то наша цифра либо последняя либо предпоследняя. Соответственно если она последняя, то это может быть: 2, 3, 6, 7.

Из которых подходит только 6 (по признаку делимости на 10) и далее по тексту - к делимости на 9.

MrDindows в сообщении #527782 писал(а):

Если эта цифра - предпоследняя, то это может быть 0, 2, 4, 6, 8.

То это может быть только 2 (по признаку делимости на 100).

MrDindows в сообщении #527782 писал(а):

5555...5525 - является ли это квадратом натурального числа?

Не является - по модулю 8.

[Cash]

Интересно посмотреть для $n$-значного числа. Единственным кандидатом остается число $55...56$. Сходу видно только что $n$ делится на 6 (остатки на 9 и 11). Далее, по модулю 11111 отсеивается еще 2/5 значений. Продолжая так дальше, мы будем отбрасывать примерно половину почти на каждом простом репьюните (можно брать любой с простым количеством цифр). Но что то мне сдается, что до строгости здесь далеко, если вообще верно.
Можно ли элементарными средствами доказать отсутствие квадрата такого вида?

[nnosipov]

Cash в сообщении #527906 писал(а):

Можно ли элементарными средствами доказать отсутствие квадрата такого вида?

Пусть $n$ --- число пятёрок. Имеем

$$ 5 \cdot \frac{10^n-1}{9} \cdot 10+6=x^2. $$

Или $5 \cdot 10^{n+1}=(3x-2)(3x+2)$. Ну, а дальше понятно. В общем, подобные вопросы иногда элементарно разрешаются. Правда, бывают ситуации похуже, когда нельзя разложить на множители соответствующий квадратный трёхчлен, например $x^2+4=5^n$. Здесь помогают уравнения Пелля.

[Cash]

Точно! Очередной фокус от вас . Два делителя одновременно на 5 не могут делиться. Поэтому один из множителей равен $2^k5^{n+1}$, а другой $2^{n-k}$ и модуль их разности гораздо больше 4.

Цитата:

бывают ситуации похуже, когда нельзя разложить на множители соответствующий квадратный трёхчлен

Мне показалось, что наоборот - несказанно повезло, что квадратный трехчлен на множители разложился. В смысле: как правило, ситуации похуже

[nnosipov]

Cash в сообщении #527967 писал(а):

В смысле: как правило, ситуации похуже

Согласен. Вообще, набор элементарных трюков здесь невелик. Вот ещё один, для меня он был в новинку: topic47921.html

[Cash]

C кубами все еще проще.
Если куб оканчивается на $5$, то последние 3 цифры $\{125, 375, 625, 875\}$.
Если последняя цифра четная, то число делится на $8$, откуда она может быть равной только $2$.
Из множества $\{1, 2, 3, 7, 9\}$ по модулю $9$ проходит только семерка. А 2012-значное число $55...57$ делится на $9$, но не делится на $27$ (на компе можно и сразу все варианты по модулю $27$ отсеять).