Методы Мат.Физики Уравнение Лапласа в круге

[Dimqa]

К сожалению, не знаю к какому разделу подходит данный вопрос.
Есть задача Лапласа в круге:
$\Delta(U)=0 $0\le r\le2$
$U(2,\varphi)=7\cos5\varphi+8\sin4\varphi$
Решал не по стандартному методу, но скорее не понимая что именно делаю. Друг подсказал алгоритм решения, получилось:
$U(r,\varphi)=7/32\cos5\varphi+1/2\sin4\varphi$
Верен ли ответ, правильно ли он записан?

[Nemiroff]

Цитата:

$U(r,\varphi)=7/32\cos5\varphi+1/2\sin4\varphi$
Верен ли ответ, правильно ли он записан?

С учетом того, что ваша функция не зависит от $r$... Ну подставьте хотя бы граничные условия. Сойдется?

[Dimqa]

Nemiroff
Понимаете, я к сожалению в этом предмете полный ноль. Только сел разбираться. Думать и понимать готов.
Решал, представляя U как сумму Амcos и Вмcos умноженное на $r^m$
m взял из условия, т.е равным 2. Отсюда $А_5 =7/32$ $А_4 =0$ $B_4 =1/2$$B_5 =0$

[Nemiroff]

Вы в своем ответе видите где-нибудь $r$ хоть в какой-нибудь степени? Если нет, то куда вы его дели?

[Dimqa]

Значит я потерял r?
т.е
$U(r,\varphi)=7/32r\cos5\varphi+1/2r\sin4\varphi$

[Nemiroff]

Цитата:

Решал, представляя U как сумму Амcos и Вмcos умноженное на $r^m$

Это пока неплохо.

Цитата:

m взял из условия, т.е равным 2

Это ужасно.

Цитата:

$U(r,\varphi)=7/32r\cos5\varphi+1/2r\sin4\varphi$

Это бред.

[Dimqa]

Насчет m виноват, ошибся. т.е $\cos(m,\varphi)$ и равно в первом случае 5 во втором 4.
Насчет выбора r, для подстановки в формулу, мне сказали брать правую границу, т.е число 2. Зачем и почему так я не понимаю.
И если вам не трудно подскажите, пожалуйста, как решать это уравнение.

[Nemiroff]

Берем Вики, получаем формулу

Цитата:

Известно, что функция
$u(r, \varphi)=a_0+\sum_{n=1}^\infty \left ( \frac{r}{R} \right )^n (a_n\cos n\varphi + \tilde{a}_n\sin n\varphi) $
является решением задачи Дирихле для уравнения Лапласа в круге.

Вот берете, как вы сказали, комбинацию, находите коэффициенты, подставляете их в формулу, получаете ответ.
На $R$ можно забить, там оно для удобства.

[Dimqa]

Что тут есть а$_0$?
Извините, если вопрос тупой, вероятно, научить меня чему-либо весьма сложно.

[Nemiroff]

Нуль, очевидно.
Видно из гран.условий. А вообще там может быть некоторая константа.

[Dimqa]

$U(r,\varphi)=r^5\cdot7\cos5\varphi+r^4\cdot8\sin4\varphi$??

-- 15.01.2012, 18:20 --

Подскажите пожалуйста. К утру необходимо разобраться. А я вообще никак не могу вникнуть.

[Nemiroff]

Нет.
Вы же сказали, что нашли коэффициенты: $1/2, 0, 7/32, 0$
Допустим, вы нашли их правильно - подставьте.

Цитата:

Подскажите пожалуйста. К утру необходимо разобраться. А я вообще никак не могу вникнуть.

Значит, соображайте быстрее.

[Dimqa]

Скажу, все что знаю.
$U(r,\varphi)=\sum 2^m(7\cos5\varphi+8\sin4\varphi)$
$m_1=5$,$A_5\cdot32=7$ $A_5=7/32$
$m_2=4$,$B_4\cdot16=8$ $B_4=1/2$
Предположим что это верно.
Тогда как записать ответ?
$U(r,\varphi)=7/32\cdot r^5\cos5\varphi+1/2\cdot r^4\sin4\varphi$?

[Nemiroff]

Цитата:

Тогда как записать ответ?
$U(r,\varphi)=7/32\cdot r^5\cos5\varphi+1/2\cdot r^4\sin4\varphi$?

Ну эта функция явно гармоническая.
Осталось проверить гран. условия.

[Dimqa]

$U(0,\varphi)=7/32\cos5\varphi+1/2\sin4\varphi$
$U(2,\varphi)=7\cos5\varphi+8\sin4\varphi$
Вот только что мне это дает? Наверное, на самом деле все элементарно.