Спектр квантового гармонического осциллятора в круге

[roma1990]

Задача: найти несколько первых уровней энергии квантового гармонического осциллятора (обезразмеренного) в круге единичного радиуса с "жесткими" стенками, т.е. найти решение следующей задачи:

$\left(-\frac{d^2}{dx^2} - \frac{d^2}{dy^2} + x^2 + y^2 \right)\, \psi(x,y) = E\, \psi(x,y)$
$\psi|_{x^2+y^2=1} = 0$

Похоже это решается каким-то асимптотическим методом, только каким?

[Ilia_]

Попробуйте перейти к цилиндрическим координатам и рассмотреть потенциал осциллятора как возмущение к потенциалу бесконечно глубокой ямы.

$$\frac1r\frac\partial{\partial r}r\frac{\partial\varphi}{\partial r}+V(r)=E\varphi,\qquad 0<r<1$$

Граничное условие:

$$\varphi^\prime(r)|_{r=0}=0,\qquad\varphi(r)|_{r=1}=0$$

Без возмущения будет:

$$r^2\varphi^\prime^\prime+r\varphi^\prime-r^2E\varphi=0$$

Заменой переменных оно сводится к уравнению Бесселя нулевого порядка. Нули нулевой функции Бесселя определяют допустимые значения энергии. А потом можно применить теорию возмущений.

[roma1990]

Возмущение получается не маленьким - $V(r) = r^2$, формально теория возмущения неприменима.

Пробывал через функции Грина, но там непонятно как найти асимптотику интеграла от функции Бесселя.

Еще есть идеи?

[ewert]

roma1990 в сообщении #527104 писал(а):

как найти асимптотику интеграла от функции Бесселя.

Сначала надо сформулировать, о какой асимптотике вообще речь в задаче. Если радиус велик (по сравнению с характерным размером потенциала) -- это один предельный случай. Если, наоборот, мал -- то другой. Если же не мал и не велик, то ничего толкового и не скажешь, кроме выписывания трансцедентных уравнений для соотв. спецфункции.

[roma1990]

Ну задача - найти несколько первых уровней энергии.

Асимптотика возникла из-за идеи применить теорию функций Грина:

$\left( \hat{H_0} + \hat{H_1} \right)\, \psi = E\, \psi$
Если знаем функцию Грина
$G_0:\, \left(z-\hat{H_0} \right) G_0(r,r',z) = \delta(r-r'), где $r$ - вектор координат тогда
Функция Грина исходной задачи записывается в виде
G(E) = G_0(E) + G_0(E) H_1 G_0(E) + G_0(E) H_1 G_0(E) H_1 G_0(E)+...

И из нее можно извлечь информацию о спектре.

Так же известно что $G_0(r,r',z) = \sum\limits_n \frac{\Psi_n(r) \Psi_n^{*}(r')}{z-\lambda_n}$,
где $\Psi_n, \, \lambda_n $ - собственная функция и собственное значение оператора $\hat{H_0}$


Вот при нахождении $G(r,r',E) $ получаются невычисляемые интегралы ( содержащие в себе функцию Бесселя ) и надо найти какую-то хорошую асимптотику что бы эта функция получилась в том же виде что и $G_0$, и её полюса и будут спектром исходной задачи

[Ilia_]

roma1990 в сообщении #527104 писал(а):

Возмущение получается не маленьким - $V(r) = r^2$, формально теория возмущения неприменима.

Почему не малым? Рассмотрим одномерный случай. $-\frac{d^2\varphi}{dx^2}=E\varphi$, $|x|<1$. Первый уровень $\varphi=\cos\frac\pi2x$. $E=\frac{\pi^2}4\approx2.5$. А $V(x)=x^2<1$. Таким образом уже для первого уровня теория возмущений работает неплохо, а для второго и выше - совсем хорошо.

Да, я там в выкладках минус потерял. Там уравнение $r^2\varphi^\prime^\prime+r\varphi^\prime+Er^2\varphi=0$, и решение - $J_0\left(r\sqrt{E}\right)$. Первый ноль примерно в точке $\sqrt E=2.5$. Так что для двумерной задачи теория возмущений работает вообще отлично.

[ewert]

roma1990 в сообщении #527136 писал(а):

Ну задача - найти несколько первых уровней энергии.

А это сама по себе -- бессмысленная задача. Если не оговорено, в каком приближении найти.