Поляры (polar sets)

[andre_a_no]

Никак не могу разобраться с тем, что такое поляра, поскольку не могу нигде встретить двух одинаковых определений.

Имеется в виду подобное понятие:Polar_set

$$ A^\circ := \{y \in Y : \sup\{|\langle x,y \rangle |: x \in A \} \leq 1\} $$

Ну, положим, что это то же самое, что и

$$A^\circ := \{y \in Y : |\langle x,y \rangle | \leq 1\, (\forall x \in A ) \} $$

При этом я находил ещё и следующие определения:

$A^\circ := \{y \in Y : \langle x,y \rangle \leq 1(\forall x \in A )\} $, что уже не то же самое,

и такое определение,

$A^\circ := \{y \in Y : re(\langle x,y \rangle) \leq 1(\forall x \in A )\}, $

и такое определение,

$A^\circ := \{y \in Y : \langle x,y \rangle \geq -1(\forall x \in A )\}, $.

Ну положим, что предпоследнее может быть применено к векторным пространствам над комплексными числами, но мне всё ещё не понятно,почему так. Это ведь эквивалентно предыдущим, на сколько я понимаю, только в случае уравновешенных $A$, или я не прав?

В Рокафелларе вообще дается следующее:

$K^\circ =\{x^*| \forall x \in K, \langle x, x^* \rangle \leq 0\}$, где $K$ - конус. $K^\circ$ при этом называется полярой конуса $K$.Я не могу разобраться что имеется в виду, когда говорят о "полярах" и, соответственно, какие утверждения про поляры верны. Если определения эквивалентны, то мне не очевидно, почему. Особенно про последнее.

[lyuk]

Это (первые три) разные подходы к определению поляры. Они дают разные понятия, которые совпадают для уравновешеных множеств. Кроме того, для линейных пространств над полем комплексных чисел соответствующее условие $Re \langle x,y \rangle \leq 1$ или $Re \langle x,y \rangle \geq -1$.

Соответствующие утверждения (типа "теоремы о биполяре" или "теоремы Алаоглу-Бурбаки") доказываются аналогично и отличаются условиями "абсолютная выпуклость" (для первого определения) - "выпуклость" (второе, третье) определение.