Ряд Тейлора, ТФКП

[Zidan98]

Задание-разложить в ряд Тейлора в точке -2 функцию $\ln(\frac{z+2i}{z-2i})$. Первые несколько членов выписать конечно можно, пользуясь разными топорными методами, но общую написать слабо пока. Есть вариант выделить сначала единицу, а потом первый член разложения для $\frac{4i}{z-2i}$, разделить на это число и вынести его за логарифм. Но могут быть нестыковки с теорией, да и дальше бином Ньютона не оставляет шансов эту самую общую формулу коэффициентов ряда выписать...

[SpBTimes]

Под логарифмом добавьте и вычтите единицу.

[мат-ламер]

Логарифм дроби представить как разность логарифмов. И каждый разложить по отдельности.

[Zidan98]

мат-ламер в сообщении #525913 писал(а):

Логарифм дроби представить как разность логарифмов. И каждый разложить по отдельности.

Так нельзя, не очень пока понимаю почему, но это точно. Напишите, кто знает почему, пожалуйста!

-- Чт янв 12, 2012 07:15:48 --

SpBTimes в сообщении #525910 писал(а):

Под логарифмом добавьте и вычтите единицу.

Тогда получим разложение по степеням $\frac{z+2i}{z-2i}-1$, а нужно по степеням $z+2$, т.е. $\frac{z+2i}{z-2i}-1$ нужно будет разложить по степеням $z+2$, и далее раскрывать бином...Другого пути ,видимо, нет? А то. опять общей формулы не получается...

[ewert]

Zidan98 в сообщении #525962 писал(а):

Так нельзя, не очень пока понимаю почему, но это точно.

Так можно. Более того -- именно так нужно. И тогда общая формула для коэффициентов достаточно легко находится тупым дифференцированием.

Однако проще всё же воспользоваться стандартным разложением для логарифма. Вот разложите сначала для тренировки, например, $\ln(3+2t)$ по степеням просто $t$.

[Zidan98]

ewert в сообщении #525976 писал(а):

Вот разложите сначала для тренировки, например, $\ln(3+2t)$ по степеням просто $t$.

Ну зачем так издеваться!! Просто я от преподавателя одного мельком что-то слышал, что логарифм произведения в сумму логарифмов разбивать в комплексном случае нельзя почти всегда..и не я один..

-- Чт янв 12, 2012 11:36:02 --

$\ln(3+2t)=\ln(1+\frac{2t}{3})+\ln3=\ln3+\frac{2t}{3}-\frac{2^2t^2}{3^2}+....$
но здесь-то все куда проще ведь-все по степеням $t$ так и разложилося....

[ewert]

Zidan98 в сообщении #525987 писал(а):

я от преподавателя одного мельком что-то слышал, что логарифм произведения в сумму логарифмов разбивать в комплексном случае нельзя почти всегда.

Это неверное утверждение (во всяком случае, легкомысленное). Всегда можно, надо только учитывать многозначность логарифма. Конкретнее: надо выбирать для каждого слагаемого такие ветви, чтобы при их сложении получалась ровно та ветвь логарифма, которая была выбрана изначально. И поскольку речь о разложении в ряд -- всё оказывается тривиально: сначала раскладываем вообще ни о чём не задумываясь, а потом (после собирания всех членов) просто корректируем (в случае необходимости) нулевой член ряда на $2\pi ki$ так, чтобы он оказался равным значению исходного логарифма в центральной точке.

Zidan98 в сообщении #525987 писал(а):

но здесь-то все куда проще ведь-все по степеням $t$ так и разложилося....

ну так сделайте у себя формальную замену $t=z+2$ -- всё ровно так же и разложиться....

[Zidan98]

Да, все дело в многозначности, а преподаватель, видимо, просто очень осторожный

[Zidan98]

ewert в в сообщении #525987 писал(а):

И поскольку речь о разложении в ряд -- всё оказывается тривиально: сначала раскладываем вообще ни о чём не задумываясь, а потом (после собирания всех членов) просто корректируем (в случае необходимости) нулевой член ряда на $2\pi ki$ так, чтобы он оказался равным значению исходного логарифма в центральной точке.

Ну так если раскладывать $\ln(\frac{z+2i}{z-2i})=\ln(z+2i)-\ln(z-2i)+2k\pi$ значение k не будет фиксировано, а видимо меняется в зависимости от$z$
И никакой связи с "примером для тренировки" я не вижу..

-- Пт янв 13, 2012 01:51:04 --

Логарифм частного двух чисел всегда можно разложить в виде разности, подобрав $k$, а для функций черт его знает...

[ewert]

Zidan98 в сообщении #526220 писал(а):

Логарифм частного двух чисел всегда можно разложить в виде разности, подобрав $k$, а для функций черт его знает...

Ровно так же. Любые два конкретных значения логарифма одного и того же числа (неважно чего конкретно) различаются на целое количество $2\pi i$. Поэтому для аналитических (в окрестности некоторой точки) функций достаточно зацепиться за их значения в этой конкретной точке -- а уж на всю окрестность это соотношение продолжится попросту в силу их непрерывности.

Zidan98 в сообщении #526220 писал(а):

значение k не будет фиксировано, а видимо меняется в зависимости от$z$

Вот именно в силу непрерывности и будет фиксировано (непрерывная функция не может измениться скачком) -- во всяком случае, в некоторой окрестности $t=0$; а большего для разложения в ряд нам и не нужно.

[Zidan98]

ewert в сообщении #526231 писал(а):

Вот именно в силу непрерывности и будет фиксировано (непрерывная функция не может измениться скачком) -- во всяком случае, в некоторой окрестности $t=0$ ; а большего для разложения в ряд нам и не нужно.

ewert, что ж это Вы все это самое $t$ пишете..
Даже смешно немного...То есть у меня не было даже шансов сделать эту задачу; я-то ведь этого не знал . То есть k будет фиксировано и его достаточно подобрать для какого-нибудь конкретного x...Все ясно...