Сократимая дробь

[Ktina]

$n$ и $m$ - взаимопростые натуральные числа.

Дробь $\frac{n+2012m}{m+2012n}$ сокращабельна на некоторое натуральное $k$, наибольшее возможное значение которого и требуется найти в данной задаче.

[Null]

$2012^2-1$ при $m=n=2011$

[Sender]

m и n должны быть взаимно простыми.

[mihiv]

Пусть $d$-НОД числителя и знаменателя дроби,тогда сумма и разность числителя и знаменателя делятся на $d$,т.е. $d|2013(m+n),d|2011(m-n)$.
Пусть простое число $q$ входит в разложение $d$ на простые множители в степени $k$,тогда $q^k|2013(m+n),q^k|(m-n)$,а т.к. числа 2013 и 2011 взаимно просты,то $q^k|m+n,q^k|m-n$ и,следовательно,делит также их сумму и разность:$q^k|2m,q^k|2n$.Но $m$ и $n$ взаимно просты,поэтому это возможно только если $q=1$,противоречие.Дробь несократимая.

[Sender]

$2012^2-1$ при $m=4021, n=6034$.

[mihiv]

Поторопился с выводом,что $q^k$ не делит 2011,2013.

[Ktina]

Sender в сообщении #525664 писал(а):

$2012^2-1$ при $m=4021, n=6034$.

Если не ошибаюсь, заменив 2012 на произвольное натуральное чётное $a$, мы всегда получим в ответе $a^2-1$, алгоритм Евклида ещё никто не отменял

[nnosipov]

Ktina в сообщении #525759 писал(а):

заменив 2012 на произвольное натуральное чётное $a$, мы всегда получим в ответе $a^2-1$

А всегда ли сумеем подобрать взаимно простые $m$ и $n$ так, чтобы дробь сократилась на $a^2-1$?

[Ktina]

nnosipov в сообщении #525790 писал(а):

Ktina в сообщении #525759 писал(а):

заменив 2012 на произвольное натуральное чётное $a$, мы всегда получим в ответе $a^2-1$

А всегда ли сумеем подобрать взаимно простые $m$ и $n$ так, чтобы дробь сократилась на $a^2-1$?

Если взять $n=1$, то всегда.

[nnosipov]

Ktina в сообщении #525817 писал(а):

Если взять $n=1$

Да, конечно.