Подстановка вероятностного распределения

[Nimza]

Пусть есть вероятностное распределение $Q_X(A)$ и переходное ядро $Q(x,B)$. Тогда для совместного распределения верно

$Q_{XY}(A,B) = \int\limits_{A \times B} Q(x_1,dx_2)Q_{X}(dx_1)$.

Если теперь ещё есть переходное ядро $Q(x,y,C)$, то

$Q_{XYZ}(A,B,C) = \int\limits_{A \times B \times C} Q(x_1,x_2,dx_3) Q_{XY}(dx_1,dx_2)$.

Как обосновать такую формулу:

$Q_{XYZ}(A,B,C) = \int\limits_{A \times B \times C} Q(x_1,x_2,dx_3) Q(x_1,dx_2)Q_X(dx_1)$

У меня что-то не получается строго это объяснить.

[PAV]

А Вы можете строго объяснить, что такое в Вашей второй формуле $Q_{XY}(dx_1,dx_2)$?
Нестрого - Вы в первую формулу подставляете вместо множеств $A$ и $B$ бесконечно малые объемы. Интеграл при этом исчезает и остается только подынтегральное выражение.

[Nimza]

Нестрого конечно понятно.

PAV в сообщении #525274 писал(а):

А Вы можете строго объяснить, что такое в Вашей второй формуле ?

Да, если $Q_{X}$ мера на измеримом пространстве $(E,\mathcal{E})$, а $Q_{Y}$ на $(F,\mathcal{F})$, то $Q_{XY}$ это мера на $(E \times F, \mathcal{E} \otimes \mathcal{F})$. Значит можно написать $Q_{XY}(A,B) \equiv Q_{XY}(A \times B) = \int\limits_{A \times B} dQ_{XY}(x,y) \equiv \int\limits_{A \times B} Q_{XY}(dx,dy)$.
Единственное равенство здесь соответствует интегралу Лебега от индикатора, остальное --- эквивалентные обозначения. Но так смотрится симпатичнее.

[PAV]

Ну то есть вопрос можно считать решенным?

[Nimza]

Нет, как так? Ничего же не изменилось.

[PAV]

Выражение $Q_{XY}(dx,dy)$ - это по определению то, что стоит под интегралом в Вашей первой формуле, то есть:

$$ Q_{XY}(A,B)=\int_{A\times B}Q_{XY}(dx,dy) $$

Вот Вы и подставили его.

-- Вт янв 10, 2012 16:34:43 --

Посмотрите еще теорему Фубини - кажется, это то, что Вам нужно.

[Nimza]

А, формально да, можно подставить $Q_{XY}(dx,dy) = Q(x_1,dx_2)Q(dx_1)$. Но это же только формально: у нас же нет правил работы с дифференциалами. То есть опять получается нестрого.

А Фубини тут постоянно используется.

[PAV]

Затрудняюсь объяснить. Мне представляется, что тут все уже написано, а для строгости достаточно немного помахать руками.

Может, кто-то еще объяснит более внятно.

[PAV]

По дороге домой понял, что Вы меня (а также возможно и себя самого) сбили и усложнили себе жизнь неудачным и неправильным обозначением. Ваша запись

$$ Q(A,B)=\int_{A\times B}q(dx,dy) $$

по сути порочна (я намеренно обозначил функцию под интегралом другой буквой, чтобы не путаться). Потому что $q$ - это вполне определенная функция от двух аргументов, и подставлять в нее дифференциалы $dx$ и $dy$ неправильно. Например, она может иметь вид $q(x,y)=x^2+y^4$. И что тогда будет представлять собой $q(dx,dy)$ и как это интегрировать? Ерунда получается.

Дифференциалы под интегралом могут быть только либо в виде $dQ$, где $Q$ - мера, либо как частный случай $dxdy$ (C)

Вы должны представить Вашу меру в виде

$$ Q(A,B)=\int_{A\times B}q(x,y)\,dxdy $$

где $q$ - это некоторая вполне определенная функция от двух аргументов. С другой стороны, первая формула дает представление этой функции в виде произведения двух других (там тоже вынесите дифференциалы в конец). И третий интеграл перепишите в таком же виде. И тогда все трудности пропадут сами собой.

[Nimza]

PAV в сообщении #525383 писал(а):

Вы должны представить Вашу меру в виде

А если у меры нет плотности? Ведь в общем случае она так не представима.

[PAV]

В таком случае оставляйте дифференциал от меры, хотя это и получается тавтология.

-- Вт янв 10, 2012 22:04:54 --

Точнее тогда так. Первый Ваш интеграл по сути можно записать так:

$$ Q_{XY}(A,B)=\int_AQ(x,B)dQ_X $$

Аналогично перепишите остальные выражения.

[Nimza]

Получается мы просто меняем обозначения. Хочу сказать пару слов в защиту моего обозначения. Переходное ядро $Q(x,B)$ является вероятностной мерой при почти всех фиксированных $x$. Если у нас есть случайный элемент $X$ с этим распределением $Q(x,\cdot)$, как ещё разумно обозначить его матожидание, кроме как $\mathbb{E}X = \int\limits yQ(x,dy) $?

[PAV]

Да, согласен. Для функции множества подстановка вместо аргумента элемента объема $dx$ используется и вполне нормальна.

-- Вт янв 10, 2012 22:11:27 --

Посмотрите теорему о замене переменных в интеграле Лебега - Ваше утверждение это случайно не она?

[Nimza]

Спасибо огромное за помощь. Это суть обобщенной теоремы Фубини, на случай, когда мера на $(E \times F, \mathcal{E} \otimes \mathcal{F})$ не есть прямое произведение мер на исходных пространствах: $\nu(A \times B) = \int_{A \times B} \lambda(x,dy) \mu(dx)$, где $\lambda(x,C)$ --- переходная мера (Партасарати, "Введению в теорию вероятностей и теорию меры", с. 186).

(Оффтоп)

Как сделать так, чтобы при правке сообщения было написано, что я его подправил спустя какое-то время?