Каноническое представление матрицы лин.отображения

[Unconnected]

Теорема, матрицу линейного отображения можно представить в виде $E_k$ (как я понял, это единичная матрица размерности K). Формулировка правильная? Завалился на экзамене, препод сказал что мол слишком сильное условие..

[bot]

Unconnected в сообщении #524861 писал(а):

Завалился на экзамене

Закономерно. Если $k<n$, где $n$ размерность пространства, то никакое линейное преобразование ни в каком базисе не будет иметь такую матрицу - она просто обязана быть порядка $n$. Если же $k=n$, то такую матрицу в любом базисе имеет единственное линейное преобразование - тождественное.
Без дополнительных ограничений (в аффинном случае) от Вас ожидали услышать про жорданов базис и соответственно - про жорданову форму матрицы.

[Unconnected]

Очень интересно, почему в конспекте ни малейшего упоминания про размерности не было..
Я не очень понял, какое "правильное" условие теоремы должно быть?

[bot]

Непосредственно по определению матрицы линейного преобразования она имеет тот порядок, сколько векторов в базисе. Какое ещё упоминание Вам требуется - что число векторов в базисе совпадает с размерностью?

Что касается канонического вида - то разные бывают. Если речь о преобразованиях пространства без скалярного произведения, то ясен пень - это про жорданов вид, было такое?

[Unconnected]

Ну не знаю тогда, ему что-то в формулировке не понравилось, мол, для этих условий не будет такой матрицы канонической (т.е. единичной, размерности K). Жордана не проходили..

[мат-ламер]

Unconnected в сообщении #524861 писал(а):

Теорема, матрицу линейного отображения можно представить в виде (как я понял, это единичная матрица размерности K). Формулировка правильная?

Что значит "можно представить в виде"?

Unconnected в сообщении #524861 писал(а):

препод сказал что мол слишком сильное условие..

А где условие?

[Unconnected]

Условие: матрицу линейного отображения можно представить в виде $E_k$(как я понял, это единичная матрица размерности K).

Из доказательства получается, что оба пространства должны быть одной размерности (там через умножение матриц доказательство, оно возможно только при равенстве размерностей).

А как представить матрицу в единичном виде, сам ума не приложу, но списал на "чудеса математики".

[svv]

Вот в диагональном виде частенько можно представить -- в соответствующем базисе (собственных векторов).

[Unconnected]

Ну наверное это и имеется в виду, или E_k всегда полностью диагональная (все единицы на диагонали)?

[svv]

В диагональном виде, но всё же не в единичном, так как единичную матрицу имеет тождественный оператор.
Да и не всегда можно представить в таком виде. Более общее представление -- в жордановой форме, о чем уже говорилось.

[bot]

Unconnected, Вы продолжаете валиться. Ваша интерпретация вопроса настолько невнятна, что вопрос даже не угадывается. Не могли бы Вы воспроизвести формулировку вопроса в билете? Как этот вопрос сформулирован в программе курса. Сейчас многие лекторы для удобства пишущих шпоры дают вопросы к экзамену. Если они у Вас есть, то как он выглядит в этом списке?

[Unconnected]

В целом, мораль теоремы я понял (с трудоом)): без разницы, применять матрицу перехода к базису или к образу базиса: в итоге получится одно и то же. Но в деталях путаюсь, препод пишет ужасно и с кучей опечаток, много мелочей не понимаю, а разобраться хочется, бесит(

[bot]

Хм, взглянул очень бегло. Не очень ясны обозначения. Что означает индекс $k$ слева и что такое $k$-линейное преобразование? Но это не очень важно и будет иметь значение только для выбора способа доказательства.
Во всяком случае ясно, что речь идёт о линейном преобразовании одного пространства в другое, тогда и матрица преобразования будет зависеть от выбора двух базисов в этих пространствах и будет иметь порядок $m\times n$, где $m$- размерность первого просранства, а $n$ - второго.
Если в полном прообразе образа преобразования выбрать какой-нибудь базис и дополнить его до базиса всего пространства, а потом образ этого базиса во втором пространстве дополнить до базиса второго, то в полученных двух базисах преобразование и будет иметь указанный вид. При этом $k$- размерность образа. Как видите, в чистом виде $E_k$, как Вы пытались впарить экзаменатору никак появиться не может, разве, что в очень частном случае, когда $m=n=k$.

[Unconnected]

Левый индекс для U - это левый модуль над полем, т.е. лин.пространство. k-линейное преобразование это вроде мы так вводили лин.отображение в пространстве над k.

Цитата:

Если в полном прообразе образа преобразования выбрать какой-нибудь базис и дополнить его до базиса всего пространства, а потом образ этого базиса во втором пространстве дополнить до базиса второго, то в полученных двух базисах преобразование и будет иметь указанный вид.

То есть как это прообраза? Тут же не обязательно инъекция(??), можно разве прообраз брать?
И где гарантия, что можно будет образ дополнить до базиса второго? Т.е. например в образе векторов меньше, чем в базисе второго, но они уже линейно зависимы..
Ну в общем я понял, к чему он придирался.. интересно, что же имелось в виду в теореме.

[Unconnected]

Цитата:

Во всяком случае ясно, что речь идёт о линейном преобразовании одного пространства в другое, тогда и матрица преобразования будет зависеть от выбора двух базисов в этих пространствах и будет иметь порядок $m\times n$, где $m$- размерность первого просранства, а $n$ - второго.

А тут нет ошибки в порядке m на n? Матрица лин.отображения (преобразования?) это координаты образов первого базиса во втором. Значит, она будет размерности n на m..