Суммирование функционального ряда

[f(a)]

Задача:
найти сумму ряда:
$\sum_{n=0}^{\infty}(2n+1)x^n = \sum_{n=0}^{\infty}(2n+1)\tfrac{x^{2n}}{x^n} = |\sum_{n=0}^{\infty}\tfrac{1}{x^n} = \tfrac{x}{x-1}| = \tfrac{x}{x-1}\sum_{n=0}^{\infty}(2n+1)x^{2n} = \tfrac{x}{x-1}\tfrac{d}{dx}\sum_{n=0}^{\infty}x^{2n+1} = \tfrac{x}{x-1}\tfrac{d}{dx}\tfrac{x}{1-x^2}$
Видимо я где то ошибся, так как мой ответ не совпадает с ответом Wolfram Alpha, у меня складывается подозрение, что шаг $\sum_{n=0}^{\infty}\tfrac{1}{x^n} = \tfrac{x}{x-1}$ делать нельзя, или я ошибся где то в другом месте?

[Legioner93]

По-вашему получается, что $\sum\limits_{n=0}^{\infty}A_n B_n = $\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}A_n\right)\left(\sum\limits_{n=0}^{\infty}B_n\right)$

-- Сб янв 07, 2012 17:41:45 --

Попробуйте вынести двойку из суммы и домножить на $x^{-\frac{1}{2}}$
Тогда и появится производная, которую вы хотели выделить.

[Cash]

$\sum_{n=0}^{\infty}(2n+1)x^n = 2\sum_{n=0}^{\infty}(n+1)x^n-\sum_{n=0}^{\infty}x^n$

[Someone]

f(a) в сообщении #524192 писал(а):

у меня складывается подозрение, что шаг $\sum_{n=0}^{\infty}\tfrac{1}{x^n} = \tfrac{x}{x-1}$ делать нельзя, или я ошибся где то в другом месте?

Видите ли, ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}(2n+1)x^n$ сходится при $|x|<1$, а ряд $\sum\limits_{n=0}^{\infty}\frac 1{x^n}$ - при $|x|>1$... А где же они сходятся вместе?
Не говоря уже о том, что заметил Legioner93.