Что нужно, чтобы доказать, что функция сходится к Дельт.Ф-ии

[RIP]

Если на прямой (верно для произвольной размерности с очевидными изменениями), то достаточно таких условий (для простоты для последовательности):

1) $\sup\limits_{n\in\mathbb N}\int_{\mathbb R}|f_n(x)|\,\mathrm dx<\infty$;

2) $\lim\limits_{n\to\infty}\int_{\mathbb R}f_n(x)\,\mathrm dx=1$;

3) для любого $\varepsilon>0$: $\lim\limits_{n\to\infty}\int_{|x|>\varepsilon}|f_n(x)|\,\mathrm dx=0$.

[sergei1961]

А почему через Фурье не подходит? Тогда работаем с обычными функциями, проблем меньше.

[ewert]

А кто такой Фурье? На чём конкретно он определён?

[Padawan]

RIP в сообщении #523806 писал(а):

Если на прямой (верно для произвольной размерности с очевидными изменениями), то достаточно таких условий (для простоты для последовательности):

1) $\sup\limits_{n\in\mathbb N}\int_{\mathbb R}|f_n(x)|\,\mathrm dx<\infty$;

2) $\lim\limits_{n\to\infty}\int_{\mathbb R}f_n(x)\,\mathrm dx=1$;

3) для любого $\varepsilon>0$: $\lim\limits_{n\to\infty}\int_{|x|>\varepsilon}|f_n(x)|\,\mathrm dx=0$.

При этих условиях $\int_\mathbb R f_n(x) g(x) dx$ будет сходится к $g(0)$ для любой непрерывной финитной функции $g(x)$.
В одномерном случае третье условие можно заменить на такое: для любого отрезке $[a,b]$, не содержащего нуля, выполнено $\lim\limits_{n\to\infty} \int_a^b f_n(x)dx=0$.
Вот первое условие мне не нравится, слишком жесткое. Например, последовательность ядер Дирихле ему не удовлетворяет.
Для функционалов на $\mathcal D$ хотелось бы более слабых достаточных условий.

[RIP]

Padawan в сообщении #524175 писал(а):

При этих условиях $\int_\mathbb R f_n(x) g(x) dx$ будет сходится к $g(0)$ для любой непрерывной финитной функции $g(x)$.

достаточно просто ограниченности на $\mathbb R$ и непрерывности в 0 (считаем, что всё измеримо, разумеется). из этих соображений и написал.

Padawan в сообщении #524175 писал(а):

В одномерном случае третье условие можно заменить на такое: для любого отрезке $[a,b]$, не содержащего нуля, выполнено $\lim\limits_{n\to\infty} \int_a^b f_n(x)dx=0$.

только ещё второе условие нужно поправить, например, на $\lim\limits_{n\to\infty}\int_{-1}^1f_n(x)\,\mathrm dx=1$ (а то можно взять холмик, убегающий на бесконечность).

Padawan в сообщении #524175 писал(а):

Вот первое условие мне не нравится, слишком жесткое. Например, последовательность ядер Дирихле ему не удовлетворяет.

ну, я привёл условия, которых достаточно для примера из первого поста. конечно, в первом условии достаточно, чтобы при любом $A>0$ выполнялось $\sup\limits_n\int_{-A}^A|f_n(x)|\,\mathrm dx<\infty$, ибо всегда работаем на компакте. правда, с Дирихле это всё равно не поможет: там уж очень сильно явный вид используется (конечно, вместо синуса много чего можно подставить).

[Padawan]

По-моему, для сходимости на функциях из $\mathcal D$ достаточно, чтобы по любому отрезку, содержащему $0$, интеграл $\int_a^b f_n(x)dx$ сходился к единице, а по не содержащему -- к нулю. Несколько раз $\int f_n(x) \varphi(x)dx$ по частям инегрируем.

-- Вс янв 08, 2012 12:26:59 --

Нет, всё-таки какие-то ограничения на рост $f_n$ или интегралов от них должны быть.

[sergei1961]

В стандартных классах обобщённых функций пр. Фурье определено, и сходимость последовательности к дельта-функции эквивалентно сходимости образов Фурье к обычной единице.

[Padawan]

sergei1961 в сообщении #524490 писал(а):

эквивалентно сходимости образов Фурье к обычной единице.

Сходимости в каком смысле?

[Oleg Zubelevich]

предлагалось следующее:
Последовательность $\delta_n\in\mathcal{S}'$ называется $\delta-$образной если $F\delta_n\to 1$ слабо (поточечно, как линейные функционалы на $\mathcal{S}$). $F$ -- переобразование Фурье

[sergei1961]

если говорится про стандартные классы распределений-то наверное имеется в виду сходимость в этих классах. По крайней мере в быстроубывающих $S'$ это точно так. На высоком уровне общей абстракции мне нечего сказать, а чтобы проверить что явно заданная последовательность функций стремится к дельта в этом классе-в образах Фурье обычно проще всего. Во всяком случае для всяких прямоугольников или треугольников, где пр. Фурье сразу считается.

[Padawan]

sergei1961
Чем проверка того, что последовательность фурье-образов сходится к $1$, проще, чем проверка того, что исходная последовательность сходится к $\delta$ ?

[Oleg Zubelevich]

Padawan в сообщении #524527 писал(а):

sergei1961
Чем проверка того, что последовательность фурье-образов сходится к $1$, проще, чем проверка того, что исходная последовательность сходится к $\delta$ ?

ничем, Вы фактически

Padawan в сообщении #524175 писал(а):

Для функционалов на $\mathcal D$ хотелось бы более слабых достаточных условий.

предлагаете поискать конструктивное описание всех полседовательностей, которые сходятся к некоторому фиксированному элементу локально выпуклого пространства. Мне это предложение кажется странным. Пусть даже у Вас там формально и написано "достаточных условий"

[Padawan]

Oleg Zubelevich
Ну, мы рассматриваем же не любые обобщенные функции, а регулярные.
Вам дана последовательность суммируемых функций $f_n$. Как определить, будут ли соответствующие функционалы сходится к дельта-функции?

-- Вс янв 08, 2012 16:46:14 --

От ядер Дирихле $D_n(x)=\frac{1}{\pi}(\frac{1}{2}+\sum_{k=1}^n \cos kx)$ вторые первообразные ограничены на $[-\pi,\pi]$ (на самом деле уже первые ограничены, но для вторых $\frac{1}{\pi} (\frac{x^2}{4}-\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2} \sin kx)$ это виднее). Отсюда получается, что они сходятся к дельта-функции (если у пробной функции $\varphi(x)\in\mathcal D$ носитель в $[-\pi,\pi]$ лежит).

[sergei1961]

В исходных нужно доказать сходимость к распределению. В образах Фурье-к обычной функции. Мне кажется, что это проще, не настаиваю.