Линейное матричное уравнение

[Cl2]

Прошу Вас подсказать куда двигаться:
1 имется матричное уравнение вида $XA=B$, размерность матриц $A$ и $B$ $3\times 3$ как решать?
привести к виду $X=BA^{-1}$ или есть другой способ?

[Lion]

Разумеется, лучше всего посчитать $X=BA^{-1}$. Но можно и, например, решить вручную систему из 9 уравнений с 9 неизвестными.

[Cl2]

Благодарю Вас за ответ

[bot]

Проще всё-таки транспонировать: $A'X'=B'$ и далее для уравнения $CY=D$ действовать методом гауссовых исключений по схеме:
$C|D \rightarrow C_1|D_1 \rightarrow C_2|D_2 \rightarrow ... C_nY|D_n $ ровно так же как для однородных СЛУ с невырожденной матрицей, добиваясь, чтобы конечная матрица $C_n$ стала единичной. Тогда $Y=D_n$, так как эти преобразования сохраняют равенство $C_iY=D_i$.

Добавлено спустя 2 минуты 14 секунд:

Трудозатраты примерно такие же как и вычисление двух определителей порядка, равного порядку системы.

P.S. Здесь обозначены: $C=A', \ \ Y=X', D=B'$, а штрих - это транспонирование.

[Someone]

bot писал(а):

Проще всё-таки транспонировать: $A'X'=B'$ ...

А можно не транспонировать. Записать $A$ сверху, $B$ - под ней, и делать те же самые преобразования со столбцами.

[bot]

Можно, но так привычнее.
Ну и заодно уж: это работает и для случаев вырожденной матрицы и даже не квадратной, попутно выясняя совместность.

[zhe]

товарищи, я конечно все понимаю, но систему из трех уравнений с тремя неизвестными наверное все таки проще решать методом исключения неизвестных нежели обращать матрицу. Во всяком случае это будет немного быстрее.

[bot]

Дык, было бы об чём, хотя об этом и говорили, кроме Lionа. Впрочем откуда известно, как он обратную предпочитает считать? А вдруг теми же исключениями?

$A|E \rightarrow A_1|E_1 \rightarrow ... \rightarrow E|A^{-1} $

Перемножение матриц конечно тогда отдельная операция, но уж очень простая.

Ну и вообще для третьего-то порядка вычисление обратной - плёвое дело. Всего и делов 9 определителей второго порядка посчитать. Сам определитель третьего порядка отдельно уже считать ведь не нужно, коль скоро алгебраические дополнения ко всем элементам у нас уже есть.

Считаем трудозатраты: 1 определитель 3-го порядка + 6 определителей второго. А там 2 определителя третьего.
Спорный вопрос, где меньше.

P.S. PAV вклинился, поэтому пошёл через правку.

[PAV]

zhe писал(а):

товарищи, я конечно все понимаю, но систему из трех уравнений с тремя неизвестными наверное все таки проще решать методом исключения неизвестных нежели обращать матрицу. Во всяком случае это будет немного быстрее.

Здесь 9 неизвестных. Обратите внимание, что $B$ - не столбец, а также матрица 3x3. В итоге $X$ тоже будет такой матрицей с 9-ю неизвестными.

[bot]

Фактически опять три неизвестных, но векторных.

[Kuzya]

bot писал(а):

Фактически опять три неизвестных, но векторных.

Тогда уж доведем до конца упрощение: есть одна неизвестная , но матричная

[bot]

Вряд ли последнее можно считать упрощением - это просто исходная постановка задачи.
До этого ведь речь шла о том решать ли систему из 9 уравнений с 9 неизвестными с числовой правой частью или трёх уравнений с тремя векторными неизвестными с векторной правой частью.

[Kuzya]

И не сводится ли решение трех векторных с тремя неизвестными к девяти с девятью?

[bot]

Разумеется свести можно, но зачем это делать? Это означало бы решение трёх систем с тремя неизвестными с одной и той же основной матрицей.