Ранг множеств

[Lukin]

Ранг определяет глубину вложения одних множеств в другие.
Пустое множество $\{\}$ имеет нулевой ранг,
множество $\{\varnothing\}$ ранг 1,
множество $\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$ ранг 2,
множество $\{ \{\varnothing,\{\varnothing\}\}, \{\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}\}$ ранг 3
и т.д.
Это первые элементы множества $\omega$, существование которого утверждает аксиома бесконечности.
Очевидно, ранг $\omega$ счетно бесконечный по построению.
Любой элемент $\omega$, кроме первых двух (пустого и одноэлементного), имеет два элемента.
Т.к. ранг $\omega$ бесконечен, в нем должен существовать элемент - множество бесконечного ранга $x$. Это следует хотя бы из того, что ранг самого $\omega$ не превышает ранг самого большого своего элемента более чем на единицу.

В множестве $x$ два элемента, следовательно по крайне мере один из них также является множеством бесконечного ранга, а т.к. элементы соотносятся как $x \cup \{x\}$, следовательно оба элемента имеют бесконечный ранг.
И т.д. до бесконечности.

Т.к. каждый элемент $\omega$ биективен натуральному числу, значит в $\mathbb{N}$ существуют бесконечные (или нестандартные) натуральные числа и их бесконечно много.

Где ошибка в рассуждениях ?
Как избавится от нестандартных натуральных чисел ?
Как доказать, что $\{x\} \notin x$, когда основание не достижимо за конечное число шагов ?

[Someone]

Lukin в сообщении #522289 писал(а):

Любой элемент $\omega$, кроме первых двух (пустого и одноэлементного), имеет два элемента.

Если Вы имеете в виду стандартное определение натуральных чисел в ZFC, то два элемента содержит только один элемент $\omega$. А именно, элемент $\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$, который изображает число $2$. А число $3$ изображается элементом $\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}$, содержащим $3$ элемента. И так далее. Вообще, $n=\{0,1,2,\ldots,n-1\}$.

Lukin в сообщении #522289 писал(а):

Т.к. ранг $\omega$ бесконечен, в нем должен существовать элемент - множество бесконечного ранга $x$.

Это с какой же стати?

Lukin в сообщении #522289 писал(а):

ранг самого $\omega$ не превышает ранг самого большого своего элемента более чем на единицу.

А какой там "самый большой элемент"?

Lukin в сообщении #522289 писал(а):

Где ошибка в рассуждениях ?

Дык, уже три вижу. Вам мало?

[Lukin]

Someone в сообщении #522310 писал(а):

Если Вы имеете в виду стандартное определение натуральных чисел в ZFC, то два элемента содержит только один элемент $\omega$. А именно, элемент $\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$, который изображает число $2$. А число $3$ изображается элементом $\{\varnothing,\{\varnothing\},\{\varnothing,\{\varnothing\}\}\}$, содержащим $3$ элемента. И так далее. Вообще, $n=\{0,1,2,\ldots,n-1\}$.

А, ясно.

Someone в сообщении #522310 писал(а):

Lukin в сообщении #522289 писал(а):

Т.к. ранг $\omega$ бесконечен, в нем должен существовать элемент - множество бесконечного ранга $x$.

Это с какой же стати?

Синтаксически, лексографически, множества задаются закрытыми скобками, количество закрытых скобок в $\omega$ счетно бесконечно по построению, причем иерархически, т.е. предыдущие множества содержаться в последующих, как элементы, то же самое касается пар закрытых скобок - одни в других. Раз $\omega$ счетно бесконечного ранга, значит и закрытых скобок внутри, вниз по иерархии счетно бесконечное количество. Убираем самую верхнюю пару скобок, среди оставшихся множеств (пар закрытых скобок через запятую) должно существовать множество со счетно бесконечным количеством закрытых скобок. А как же иначе ? Если такого нет, то и в $\omega$ не может быть счетно бесконечного количества закрытых скобок, т.к. ранг максимального множества в $\omega$ и самого $\omega$ отличается только всего на 1 пару скобок, по построению.

Someone в сообщении #522310 писал(а):

Lukin в сообщении #522289 писал(а):

ранг самого $\omega$ не превышает ранг самого большого своего элемента более чем на единицу.

А какой там "самый большой элемент"?

Его нет, но это другой вопрос, я не утверждаю, что убрав внешние скобки в синтаксической записи $\omega$ можно выбрать самый большой элемент, я считаю, что среди оставшихся пар закрытых скобок должен существовать элемент счетно бесконечного ранга. Разве нет ?

Someone в сообщении #522310 писал(а):

Lukin в сообщении #522289 писал(а):

Где ошибка в рассуждениях ?

Дык, уже три вижу. Вам мало?

Спасибо за ответ, мне не мало, мне непонятно.

[Someone]

Lukin в сообщении #522382 писал(а):

ранг максимального множества в $\omega$ и самого $\omega$ отличается только всего на 1 пару скобок, по построению

Ещё раз: какой в $\omega$ максимальный элемент?

Lukin в сообщении #522382 писал(а):

Раз $\omega$ счетно бесконечного ранга, значит и закрытых скобок внутри, вниз по иерархии счетно бесконечное количество.

Что значит - "вниз по иерархии"? Любая убывающая последовательность элементов $\omega$ конечна.

Lukin в сообщении #522382 писал(а):

Убираем самую верхнюю пару скобок, среди оставшихся множеств (пар закрытых скобок через запятую) должно существовать множество со счетно бесконечным количеством закрытых скобок.

На каком шаге Вы его построили?

Lukin в сообщении #522382 писал(а):

Его нет, но это другой вопрос, я не утверждаю, что убрав внешние скобки в синтаксической записи $\omega$ можно выбрать самый большой элемент, я считаю, что среди оставшихся пар закрытых скобок должен существовать элемент счетно бесконечного ранга. Разве нет ?

Интересно. А вот чуть Выше Вы утверждаете, что "самый большой" элемент есть.

[Lukin]

Someone в сообщении #522391 писал(а):

Lukin в сообщении #522382 писал(а):

ранг максимального множества в $\omega$ и самого $\omega$ отличается только всего на 1 пару скобок, по построению

Ещё раз: какой в $\omega$ максимальный элемент?

Максимального нет.

Someone в сообщении #522391 писал(а):

Lukin в сообщении #522382 писал(а):

Раз $\omega$ счетно бесконечного ранга, значит и закрытых скобок внутри, вниз по иерархии счетно бесконечное количество.

Что значит - "вниз по иерархии"? Любая убывающая последовательность элементов $\omega$ конечна.

Это не очевидно.
Мощность это класс эквивалентности множеств.
Ранг тоже класс эквивалентности множеств.
Но мощность и ранг не эквивалентные классы. Это очевидно хотя бы из того, что существуют равноранговые не равномощные множества и равномощные не равноранговые множества.
На мощностях существует отношение порядка $>$ которое антисимметрично, транзитивно, порядок также существует на рангах и обозначается $\in$.
Любое, множество представимо парой закрытых скобок, внутри которых его элементы, в общем случае их может и не быть, но пара скобок будет всегда.
Запишем любое множество так : $\{x\}$, где $x$ - это элементы множества (которых может и не быть), причем $x \in \{x\}$ - отношение порядка, т.е. ранг множества $\{x\}$ больше ранга множества $x$ по определению выполнимости аксиом порядка. Если множество пусто, значит $x$ не соответствует ни одному множеству, если же множество не пусто, значит $x$ существует и ему соответствует хотя бы одно множество (другая пара скобок).
Суть в том, что отношение эквивалентности, синтаксически не имеет обратной операции в общем случае - взятия предыдущего элемента. Даже изображается это троеточием: $\{0,1,2,3, …\}$, а вот отношение ранга синтаксически имеет обратную операцию - убираем внешние скобки и получаем предыдущие. Если доказано, что множество $\omega$ не пусто, значит и хотя бы одно множество $x\in \omega$ не пусто. Если доказано, что множество $\omega$ счетно бесконечного ранга, значит и хотя бы одно множество $x\in \omega$ счетно бесконечного ранга. Это не значит, что его мощность должна быть бесконечной, т.к. ранг и мощность- разные отношения эквивалентности.

Someone в сообщении #522391 писал(а):

Lukin в сообщении #522382 писал(а):

Убираем самую верхнюю пару скобок, среди оставшихся множеств (пар закрытых скобок через запятую) должно существовать множество со счетно бесконечным количеством закрытых скобок.

На каком шаге Вы его построили?

Я его не строю, я так сказать, доказываю его чистое существование.
Хотя, можно и "построить".
Представим, такую модель теории, что множества - это картонные коробки.
Есть две сборочные линии $A$ и $B$.
На линии $A$ автомат собирает новую коробку и помещает в нее все предыдущие.
На первом шаге он собрал коробку, предыдущих нет, он опечатывает собранную коробку, это пустое множество.
На втором шаге он собирает новую коробку и помещает в нее пустую коробку.
На третьем шаге он собирает новую коробку и собрав пустую коробку помещает в новую обе.
И так далее.
На линии $B$ автомат поступает проще, на каждом шаге помещает в вновь созданную коробку не все ранее созданные, а только последнюю из ранее созданных.
На первом шаге создается пустая коробка.
На втором - пустая помещается в вновь созданную.
На третьем коробка с пустой коробкой помещается в вновь созданную.
И так далее.
Если каждый шаг выполняется все быстрее, например за $1/n$ от времени финиша, то после финиша приходит контролер качества и вскрывает коробку ($\omega$). Не может быть такого, что вскрыв эту коробку контролер не найдет хотя бы одной другой коробки. А в случае с линией $B$ эта коробка будет существовать в единственном и неповторимом экземпляре.
Проблема будет состоять только в том, какой из коробок внутри вскрытой на линии $A$ коробки, она будет соответствовать, но по построению оная на линии $A$ будет существовать неизбежно.

Someone в сообщении #522391 писал(а):

Lukin в сообщении #522382 писал(а):

Его нет, но это другой вопрос, я не утверждаю, что убрав внешние скобки в синтаксической записи $\omega$ можно выбрать самый большой элемент, я считаю, что среди оставшихся пар закрытых скобок должен существовать элемент счетно бесконечного ранга. Разве нет ?

Интересно. А вот чуть Выше Вы утверждаете, что "самый большой" элемент есть.

Это недоразумение, наибольшего элемента по мощности непосредственно предшествующего $\omega$ нет, вспомните троеточие $\{0,1,2,3, …\}$, а вот наибольший элемент по рангу - непосредственно предшествующий $\omega$ есть по определению множества, как пары закрытых скобок, по аксиомам порядка на рангах и по доказательству того, что $\omega$ не пусто.
Вот, для примера, множество $\{\omega\}$, его мощность - единица, а ранг - счетно бесконечный. Так ?

[Someone]

Ладно, Вы мне тривиальности-то про ранг и равномощность не рассказывайте.

Lukin в сообщении #522518 писал(а):

а вот отношение ранга синтаксически имеет обратную операцию - убираем внешние скобки и получаем предыдущие

В общепринятой терминологии операция даёт один элемент, у Вас же получается целая куча. Так что это никакая не операция.

Lukin в сообщении #522518 писал(а):

Если доказано, что множество $\omega$ не пусто, значит и хотя бы одно множество $x\in \omega$ не пусто.

Это утверждение неверно. Например, если $\omega=\{\varnothing\}$, то $x=\varnothing$.
Если же Вы под $\omega$ понимаете конкретно множество конечных ординалов (натуральных чисел), то об этом надо сказать. Но тогда зачем городить огород, если можно просто указать $x=\{\varnothing\}\in\omega$?

Lukin в сообщении #522518 писал(а):

Если доказано, что множество $\omega$ счетно бесконечного ранга, значит и хотя бы одно множество $x\in \omega$ счетно бесконечного ранга.

Это утверждение очевидным образом неверно. Контрпример мы с Вами как раз обсуждаем.

Lukin в сообщении #522518 писал(а):

Это недоразумение, наибольшего элемента по мощности непосредственно предшествующего $\omega$ нет, вспомните троеточие $\{0,1,2,3, …\}$, а вот наибольший элемент по рангу - непосредственно предшествующий $\omega$ есть по определению множества, как пары закрытых скобок, по аксиомам порядка на рангах и по доказательству того, что $\omega$ не пусто.

Извините, но в том множестве конечных ординалов, которое мы с Вами обсуждаем, порядок по мощности совпадает с порядком по рангу.

Вообще, возьмите, например, книгу по теории множеств и посмотрите, как там это излагается.

К.Куратовский, А.Мостовский. Теория множеств. "Мир", Москва, 1970.

Смотрите главы III и VII.

[Lukin]

Книга хорошая, но там ни слова о рангах множеств.
Вот глава III, стр.108:

Я говорю о взаимнооднозначном отображении не элементов двух множеств друг на друга, это определение класса эквивалентности по мощности, а о взаимнооднозначном отображении между рангами множеств - это определение класса эквивалентности по рангам и о взаимнооднозначном отображении между мощностью одного множества и рангом другого.
Об этом пример с коробками на сборочных линиях $A$ и $B$.
Чтобы можно было продолжить, сформулирую очевидную аксиому на которую буду опираться (если считаете ее неверной я буду иметь претензии к адекватности изображений множеств закрытыми скобками, т.е. к синтаксису теории)
$\forall x (x \notin \{\varnothing\}\rightarrow \exists y (\{y\}=x))$ (1)
Множество на сборочной линии $A$:
$\exists a(\varnothing \in a \land \forall x(x \in a \rightarrow x \cup\{x\} \in a))$ (1.1)
Множество на сборочной линии $B$:
$\exists b (\{b\}= a)$ (1.2) - по аксиомам (1), (1.1).
Множества $|a|=|b|$ равномощные и $/a/=/b/$ - равноранговые.
На конечных последовательностях такое отображение тривиально задается.
Вопрос темы - существует ли биекция между рангом и множеством на бесконечных последовательностях.

Someone в сообщении #522578 писал(а):

В общепринятой терминологии операция даёт один элемент, у Вас же получается целая куча. Так что это никакая не операция.

К множеству $a$ (1) получается куча, операция не применима, к множеству $b$ (2) применима.

Someone в сообщении #522578 писал(а):

Lukin в сообщении #522518 писал(а):

Если доказано, что множество $\omega$ счетно бесконечного ранга, значит и хотя бы одно множество $x\in \omega$ счетно бесконечного ранга.

Это утверждение очевидным образом неверно. Контрпример мы с Вами как раз обсуждаем.

Контрпримера я не увидел. Если Вы против аксиомы (1), готов внимать.

Someone в сообщении #522578 писал(а):

Lukin в сообщении #522518 писал(а):

Это недоразумение, наибольшего элемента по мощности непосредственно предшествующего $\omega$ нет, вспомните троеточие $\{0,1,2,3, …\}$, а вот наибольший элемент по рангу - непосредственно предшествующий $\omega$ есть по определению множества, как пары закрытых скобок, по аксиомам порядка на рангах и по доказательству того, что $\omega$ не пусто.

Извините, но в том множестве конечных ординалов, которое мы с Вами обсуждаем, порядок по мощности совпадает с порядком по рангу.

Если между рангом множества $a$ и рангом множества $b$ отношение эквивалентности, а между рангом и мощностью множества $a$ также отношение эквивалентности (как Вы утверждаете), то это означает одно из двух: либо множество $b$ (1.2) максимальное из конечных и по мощности и по рангу, либо в множестве $a$ существует элемент бесконечного ранга и мощности.

[Someone]

Lukin в сообщении #523330 писал(а):

Об этом пример с коробками на сборочных линиях $A$ и $B$.

Тогда я эту ерунду не посмотрел. Если всю эту мишуру про сборочные линии выкинуть, то становится видно, что ситуации $A$ и $B$ разные. В обоих случаях Вы определяете последовательности множеств $A_n$ и $B_n$ индуктивно:
1) $A_0=B_0=\varnothing$;
2) $A_n=\{A_k:k<n\}$, $B_n=\{B_{n-1}\}$.
Первое определение можно распространить на все ординалы, написав во втором пункте $A_{\alpha}=\{A_{\beta}:\beta<\alpha\}$. Второе определение подобному тривиальному распространению не поддаётся: $\omega-1$ не определено. Поэтому Ваш контролёр на линии $B$ никакой коробки не найдёт.

Вообще, речь идёт о таких вещах, когда просто необходимо всё выписывать формально. Когда Вы сможете формально на языке ZFC определить своё $B_{\omega}$, тогда будет иметь смысл говорить о нём. Имейте в виду, что записи с бесконечным числом символов в ZFC не допускаются.

Lukin в сообщении #523330 писал(а):

Чтобы можно было продолжить, сформулирую очевидную аксиому на которую буду опираться (если считаете ее неверной я буду иметь претензии к адекватности изображений множеств закрытыми скобками, т.е. к синтаксису теории)
$\forall x (x \notin \{\varnothing\}\rightarrow \exists y (\{y\}=x))$ (1)

Будьте добры применить свою аксиому к множеству $x=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$ и указать постулируемый Вами элемент $y$.

Что касается изображений множеств фигурными скобками, то это есть некоторое (консервативное) расширение языка ZFC, и никто не обещал, что так можно записать любое множество. В виде $\{a,b,c,\ldots,p\}$ записываются только конечные множества. Запись $\{x:\varphi(x)\}$ имеет более широкие возможности, но она "определяет" не только множества, но и такие штуки, которые множествами не являются. Схема аксиом выделения $\forall x\exists y\forall z(z\in y\Leftrightarrow(z\in x\wedge\varphi(z)))$ постулирует, что $\{z:z\in x\wedge\varphi(z)\}$ - множество.

Lukin в сообщении #523330 писал(а):

Я говорю о взаимнооднозначном отображении не элементов двух множеств друг на друга, это определение класса эквивалентности по мощности, а о взаимнооднозначном отображении между рангами множеств - это определение класса эквивалентности по рангам и о взаимнооднозначном отображении между мощностью одного множества и рангом другого.

Вы как-то непонятно выражаетесь. Эквивалентность по рангам - это просто равенство рангов? Или что-то большее? Например, множества $\{\varnothing,\{\{\varnothing\}\}\}$ и $\{\{\varnothing\},\{\{\varnothing\}\}\}$ эквивалентны по рангам или нет?

Lukin в сообщении #523330 писал(а):

Множество на сборочной линии $A$:
$\exists a(\varnothing \in a \land \forall x(x \in a \rightarrow x \cup\{x\} \in a))$ (1.1)

К сожалению, то, что Вы написали, никакого конкретного множества не определяет. Это просто аксиома бесконечности.

Lukin в сообщении #523330 писал(а):

Множество на сборочной линии $B$:
$\exists b (\{b\}= a)$ (1.2) - по аксиомам (1), (1.1).

Извините, написано нечто совершенно невразумительное.

Lukin в сообщении #523330 писал(а):

Если между рангом множества $a$ и рангом множества $b$ отношение эквивалентности, а между рангом и мощностью множества $a$ также отношение эквивалентности (как Вы утверждаете), то это означает одно из двух: либо множество $b$ (1.2) максимальное из конечных и по мощности и по рангу, либо в множестве $a$ существует элемент бесконечного ранга и мощности.

Я, по-моему, достаточно чётко выразился: на множестве конечных ординалов (= натуральных чисел) отношение порядка, определяемое мощностью, и отношение порядка, определяемое рангом, совпадают. Это легко доказывается по индукции:
1) мощность и ранг пустого множества (натурального числа = ординала $0$) равны $0$;
2) если мощность и ранг некоторого натурального числа $n$ (= конечного ордирала) совпадают, то мощность и ранг следующего натурального числа (= конечного ординала) $n+1=n\cup\{n\}$ на единицу больше, поэтому тоже совпадают.
Поэтому ранг и мощность натурального числа - это одно и то же.

Вы же написали что-то совершенно невразумительное. Что такое "отношение эквивалентности между раногом $a$ и рангом $b$"?

Lukin в сообщении #523330 писал(а):

Контрпримера я не увидел. Если Вы против аксиомы (1), готов внимать.

Дык, раз не хотите увидеть, то и не увидите.

[Lukin]

Someone в сообщении #523423 писал(а):

Тогда я эту ерунду не посмотрел. Если всю эту мишуру про сборочные линии выкинуть, то становится видно, что ситуации $A$ и $B$ разные. В обоих случаях Вы определяете последовательности множеств $A_n$ и $B_n$ индуктивно:
1) $A_0=B_0=\varnothing$;
2) $A_n=\{A_k:k<n\}$, $B_n=\{B_{n-1}\}$.
Первое определение можно распространить на все ординалы, написав во втором пункте $A_{\alpha}=\{A_{\beta}:\beta<\alpha\}$. Второе определение подобному тривиальному распространению не поддаётся: $\omega-1$ не определено.

Я об этом и говорю, не вижу, как непротиворечиво распространить понятие ранга на бесконечные множества.

Someone в сообщении #523423 писал(а):

Поэтому Ваш контролёр на линии $B$ никакой коробки не найдёт.

Соломоново решение, не распространять понятие ранга на бесконечные множества.

Someone в сообщении #523423 писал(а):

Вообще, речь идёт о таких вещах, когда просто необходимо всё выписывать формально. Когда Вы сможете формально на языке ZFC определить своё $B_{\omega}$, тогда будет иметь смысл говорить о нём. Имейте в виду, что записи с бесконечным числом символов в ZFC не допускаются.

Уже ощутил проблему сформулировать множество $B_{\omega}$ на языке ZFC аналогично аксиоме бесконечности.

Someone в сообщении #523423 писал(а):

Lukin в сообщении #523330 писал(а):

$\forall x (x \notin \{\varnothing\}\rightarrow \exists y (\{y\}=x))$

Будьте добры применить свою аксиому к множеству $x=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$ и указать постулируемый Вами элемент $y$.

Признаю, $x=\{y\}=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$, а $y$ не элемент, а подмножество $y \subseteq x$, опять не получилось на таком языке сформулировать утверждение о рангах пригодное для всех множеств.

Someone в сообщении #523423 писал(а):

Что касается изображений множеств фигурными скобками, то это есть некоторое (консервативное) расширение языка ZFC, и никто не обещал, что так можно записать любое множество. В виде $\{a,b,c,\ldots,p\}$ записываются только конечные множества. Запись $\{x:\varphi(x)\}$ имеет более широкие возможности, но она "определяет" не только множества, но и такие штуки, которые множествами не являются. Схема аксиом выделения $\forall x\exists y\forall z(z\in y\Leftrightarrow(z\in x\wedge\varphi(z)))$ постулирует, что $\{z:z\in x\wedge\varphi(z)\}$ - множество.

Понял как-то так: язык теории не может быть ее моделью.
Кстати, а Гедель свою теорему о неполноте арифметике в языке какого порядка доказывал ?

Someone в сообщении #523423 писал(а):

Lukin в сообщении #523330 писал(а):

Я говорю о взаимнооднозначном отображении не элементов двух множеств друг на друга, это определение класса эквивалентности по мощности, а о взаимнооднозначном отображении между рангами множеств - это определение класса эквивалентности по рангам и о взаимнооднозначном отображении между мощностью одного множества и рангом другого.

Вы как-то непонятно выражаетесь. Эквивалентность по рангам - это просто равенство рангов? Или что-то большее? Например, множества $\{\varnothing,\{\{\varnothing\}\}\}$ и $\{\{\varnothing\},\{\{\varnothing\}\}\}$ эквивалентны по рангам или нет?

Т.к. они конечны и равны по рангам, следовательно эквивалентны. А что-то большее, это распространение понятия ранга на бесконечные множества, которого тривиального нет.
А нетривиальные какие есть ?

[arseniiv]

Lukin в сообщении #523619 писал(а):

Признаю, $x=\{y\}=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$, а $y$ не элемент, а подмножество $y \subseteq x$

Вот вам все подмножества $\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$:
\begin{array}{l} y_1 = \varnothing \\ y_2 = \{\varnothing\} \\ y_3 = \{\{\varnothing\}\} \\ y_4 = \{\varnothing,\{\varnothing\}\} \end{array}

$x$ не равен ни $\{y_1\}$, …, ни $\{y_4\}$. М?

[Someone]

Lukin в сообщении #523619 писал(а):

Я об этом и говорю, не вижу, как непротиворечиво распространить понятие ранга на бесконечные множества.

Ну, распространить-то можно. Например, так. Предполагаем, что выполняется аксиома регулярности (фундирования), потому что без неё определить ранг для всех множеств нельзя (но если для всех не требуется, то можно и без этой аксиомы; кстати, Куратовский с Мостовским почему-то в своей книге эту аксиому не используют, хотя она заметно упростила бы некоторые построения (и при этом утверждают, что эта аксиома, очевидно, верна). Выполняем следующее построение по всем ординалам (определение по трансфинитной индукции):
1) $V_0=\{\varnothing\}$;
2) $V_{\alpha}=\mathscr P(\bigcup\{V_{\beta}:\beta<\alpha\})$,
где $\mathscr P(x)$ - множество подмножеств множества $x$.
Рангом множества $x$ назовём наименьший ординал $\alpha$, для которого $x\in V_{\alpha}$.
Легко доказать по трансфинитной индукции, что ординал $\alpha$ имеет ранг $\alpha$.

Lukin в сообщении #523619 писал(а):

Кстати, а Гедель свою теорему о неполноте арифметике в языке какого порядка доказывал ?

Первого.

Lukin в сообщении #523619 писал(а):

Т.к. они конечны и равны по рангам, следовательно эквивалентны.

Я всё равно не понял, что такое "эквивалентность по рангам".