Равномерно выпуклые пространства

[FFFF]

Здравствуйте!
Задачка из Хатсона, Пима:
Докажите, что равномерная выпуклость гарантирует единственность точки линейного подпространства, находящейся на минимальном расстоянии от заданной точки пространства (существование не гарантируется)
Соображения такие:
равномерная выпуклость: $\forall \epsilon > 0 \, \exists \delta>0$ Если $||x||=||y||=1$ и $\frac{||x+y||}{2}>1-\delta$, то $||x-y||<\epsilon$
Смотрим расстояние от $f$ до $S$ равное $dist(f,S)=\inf_{g \in S} \, ||f-g||$ От противного, пусть $\exists g_1 \, g_2$ - расстояние до которых равно расстоянию до множества. Соответственно хочу сделать $\frac{||g_1+g_2||}{2}>1-\delta$, чтобы показать, что они отличаются меньше, чем на эпсилон. Вот как-то цепочку неравенств подходящую не придумать. Кроме того, что делать с их нормами? Если показать, что $||g_1||=||g_2||$, то, наверное, можно их одновременно отнормировать на 1, но даже так неравенство мне не доказать. Не получается здесь придумать штуку, наподобие $||?-?||<\epsilon$, которую можно использовать, чтобы получить $\delta(\epsilon)$.
Альтернативный способ:
К сожалению, я не очень представляю в голове, что такое равномерно выпуклое пространство, поэтому не знаю, пройдёт ли такой путь: доказать, что $D_{f}(g) = ||f-g||$ - выпуклая функция, тогда если она имеет минимум, то он единственный. Как доказывать даже не знаю.

[FFFF]

Какую литературу посоветуете?

[ewert]

Обозначим $x=g_1-f$ и $y=g_2-f$. По предположению, $\|x\|=\|y\|$; не ограничивая общности, считаем $\|x\|=\|y\|=1$. Тогда $g_0\equiv\frac{g_1+g_2}2$ тоже принадлежит подпространству и, следовательно, должно быть $\|g_0-f\|=\left\|\frac{x+y}2\right\|\geqslant1$ (поскольку единица -- это минимально возможное расстояние от подпространства до $f$). Однако в то же время $\left\|\frac{x+y}2\right\|\leqslant\frac{\|x\|+\|y\|}2=1$. Т.е. имеем два вектора $x,y$ единичной длины, для которых $\left\|\frac{x+y}2\right\|=1$ и при этом $\|x-y\|\neq0$ (поскольку векторы $g_1$ и $g_2$ предполагались разными). Это противоречит равномерной выпуклости.

(На самом деле это противоречит даже более слабому требованию -- просто строгости нормы. Норма называется строгой, если неравенство треугольника всегда строгое, кроме тривиальных случаев. Или, что эквивалентно: если замкнутый шар строго выпукл.)

[FFFF]

Вроде понял, большое спасибо!