Метод множителей Лагранжа

[Nogin Anton]

Да, прошу прощения, там же точка $A_1$ - точка минимума.

[bot]

Опять мимо, точка минимума тоже была выдана - это $(0; \sqrt5)$. Вы хотя бы читаете, что Вам пишут?

[Nogin Anton]

Читаю.) bot, спасибо большое за разъяснения!

Пытаюсь закрепить полученные знания на ещё одном примере.) Возник вопрос по ограничениям.
Целевая функция: $f(x)=x_1^2+x_2^2+2x_1x_3+4x_3\to \max$
Ограничения:
1. $\sum_{i=1}^3 x_i^2=9$
2. $\sum_{i=1}^3 x_i\le 0$, $x_i \ge 0$

По поводу равенства понятно - там сфера.
А в неравенствах ерунда получается (по-моему):
$x_1+x_2+x_3\le 0$, $x_1\ge 0$, $x_2\ge 0$, $x_3 \ge 0$. Все иксы больше либо равны нулю, а их сумма - меньше либо равна нулю. Получается, что каждый икс равен нулю.

Или я не прав?

[bot]

А не опечатка? Например, могло быть $x_1+x_2+x_3\leqslant 2$

[Nogin Anton]

Скорее всего опечатка, но точно можно узнать только у автора задачника.) Попробую решить другой пример.

-- Ср янв 04, 2012 20:54:06 --

Не уверен в решении, посмотрите пожалуйста.

Функция цели: $f(x)=(x_1-2)^2+(x_2+2)^2\to \min$
Ограничения:
1. $x_1^2+x_2^2 \ge 10$
2. $x_1 \ge 1$
3. $x_2\ge 2$

Приравняем частные производные от целевой функции к нулю:
$F'_{x_1}=2x_1-4=0$
$F'_{x_2}=2x_2+4=0$
Полученная точка (2; -2) - не удовлетворяет условиям.

Функция Лагранжа для круга:
$L=(x_1-2)^2+(x_2+2)^2+\lambda (x_1^2 +x_2^2 -10)$
$L'_{x_1}=2x_1-4+2\lambda x_1$
$L'_{x_2}=2x_2+4+2\lambda x_2$
$L'_{\lambda}=x_1^2 +x_2^2 -10$
Решив систему получаю две точки (-2,24; 2,24) и (2.22; -2.22), которые не удовлетворяют наложенным на задачу условиям.

Аналогично для прямой $x_1-1=0$ и $x_2-2=0$.
Получаю две точки: (1; -2) и (2; 2), которые также не подходят..

Я где-то ошибся?

[AKM]

Я задачки особо решать не умею, но нехорошо без нужды подменять красивые, точные и всем понятные решения типа $(x_1,x_2)=(\pm\sqrt5,\mp\sqrt5)$ всякими приближениями. И странно, что у Вас $\sqrt5=2.236\ldots$ один раз представлено как 2.22, другой --- как 2.24.

Это касается стиля. А по делу, надеюсь, Вам кто-нибудь ответит.

[Nogin Anton]

Учту. Просто при вычислении значений функции нужно было знать приближение..)

[AKM]

У Вас, видимо, сработала некая нелюбовь к числам типа $\sqrt2$, $\sqrt5$, традиционная для школьников и со школы унаследованная. Математики же не боятся таких чисел и даже любят их (за точность, например). При особой нужде всегда можно написать что-то типа $x=\sqrt5\approx 2.236$ или $x=\frac13\approx0.333$.
Избавляйтесь от этого, любите и знайте эти числа, особенно $\sqrt2$.

Успехов.

[мат-ламер]

Nogin Anton Нарисуйте допустимое множество и прикиньте геометрический смысл задачи. Вы вероятно ищите точку из допустимого множества, которая находится ближе всего к точке ...

[bot]

(Оффтоп)

мат-ламер в сообщении #523088 писал(а):

Вы вероятно ищите точку ...

Эх, хорошо бы все были наблюдательными.

Nogin Anton в сообщении #523033 писал(а):

Решив систему получаю две точки (-2,24; 2,24) и (2.22; -2.22), которые не удовлетворяют наложенным на задачу условиям.

Вы опять наступаете на те же грабли. Критические точки на окружности оказались вне зоны наших интересов, следовательно остаются крайние точки дуги. Одна из них - Ваша, а Вы равнодушно мимо проходите.

[Nogin Anton]

Так как точка минимума расположена вне области, то это точка - либо точка пересечения первой прямой и окружности, либо пересечение второй прямой и окружности?



-- Чт янв 05, 2012 12:31:05 --

У меня получилась точка минимума - точка А.

[bot]

Ну если на глаз не видите - пересчитайте координаты точек $A, B$ и тупо подставьте в целевую функцию.

[Nogin Anton]

Пересчитал координаты - $f(A) = 26$ и $f(B)=16$, B - точка минимума.

bot, а это ведь получается графический способ решения задачи. А если через метод Лагранжа, то нужно было бы составлять функции?
$L=(x_1-2)^2+(x_2+2)^2+\lambda (x_1^2+x_2^2-10)$
$L=(x_1-2)^2+(x_2+2)^2+\lambda (x_1-1)$
$L=(x_1-2)^2+(x_2+2)^2+\lambda (x_2-2)$

[bot]

Дык Вы же составляли, систему решали, точки нашли, они ненужными оказались, пропустили один момент, что крайние точки никак упускать нельзя - в них и остётся проверить. В итоге можно было и не рисовать.
Ну я если нарисовать, то и на глаз видно без всяких множителей Лагранжа.

[Nogin Anton]

Ага. Теперь понятно! Спасибо Огромное, bot!.)