Глупые вопросы по алгебрам Ли по Джекобсону

[Sonic86]

(Оффтоп)

писать готическим шрифтом не буду

Пока только 1 вопрос (пока 2-й писал все понял):
Вопрос 1. Гл. 2, пар-ф 1, опр-е 2:
Def. $A$ - ассоц. алгебра, $S \subseteq A$, тогда $S^*$ обозначает подалгебру алгебры $A$, порожденную $S$.
Т.е. попросту $S^* = \langle S \rangle$.
Однако далее уже идет
Теорема 2: Пусть $W$ - слабо замкнутая система линейных преобразований, действующих в конечномерном пространстве, и пусть $B$ - такой идеал в $W$, что каждый элемент $B$ нильпотентен. Тогда $B^*$ (а поэтому и $B$) содержится в радикале $R$ алгебры $W$.
И тут ступор: автор предполагает, что для идеала $B$ может быть $B^* \neq B$? Но ведь $B$ - идеал, значит он замкнут по операции, значит $B=B^*$. Или тут надо различать операции умножения и коммутирования?
(аналогичное использование в теореме 8: $L$ - подалгебра, тогда ... $L^*$ полупроста).

[BVR]

Раз идеал, значит, предполагается структура кольца. А какой операцией порождается $B^*$ ?
С Новым Годом, кстати!

[Sonic86]

И Вас с Новым Годом
Про операцию ничего не написано, я же определение с книги переписал, хотя и упростил, но там про операцию ничего не написано.
Вот для идеалов и подалгебр предполагается замкнутость по операции коммутирования $[\cdot ;\cdot ]$:

Джекобсон писал(а):

Подпространство $B$ называется идеалом тогда и только тогда, когда $[B;L] \subseteq B$

Тогда употребление $S^*$ в книге осмыслено лишь если $S^*$ порождается умножением.
Так: свойство 1, используется термин $\{ w\}^*$. Если бы порождающая операция была операцией коммутирования, то $[w;w]=0$ и тогда $\{ w\}^* =\{ 0;w\}$. Значит все-таки умножение...
Пойду дальше читать. Вроде теперь пока все осмысленно.

[bnovikov]

Sonic86 в сообщении #521894 писал(а):

И тут ступор

$B$ - идеал в слабо замкнутой системе (см. конец Определения 1).

[Sonic86]

bnovikov в сообщении #521946 писал(а):

$B$ - идеал в слабо замкнутой системе (см. конец Определения 1).

Но разве идеал в слабо замкнутой системе не является обычным идеалом по операции $[\cdot ; \cdot]$?
В случае алгебр Ли, когда $\gamma (a,b)=-1$ в определении 1 обычные идеалы и идеалы в слабо замкнутой системе вообще совпадают, и тогда тоже $S^*=S$.
Или я чего-то не понял?

[bnovikov]

Sonic86 в сообщении #521950 писал(а):

В случае алгебр Ли, когда $\gamma (a,b)=-1$ в определении 1 обычные идеалы и идеалы в слабо замкнутой системе вообще совпадают...

Нет! Например, если умножение коммутативно, то в соответствующей алгебре Ли любая аддитивная подгруппа будет идеалом.

[Sonic86]

bnovikov в сообщении #521955 писал(а):

Нет! Например, если умножение коммутативно, то в соответствующей алгебре Ли любая аддитивная подгруппа будет идеалом.

Согласен...
Получается, что надо различать 2 типа идеалов: обычные и идеалы в подсистеме $W$. Обычные идеалы - частный случай идеалов в подсистеме $W=A$. Да и по определению обычный идеал сохраняется при умножении на элементы всей алгебры, а идеал в подсистеме - всего лишь при умножении на элементы подсистемы...
Если $I$ - обычный идеал, то $I^*=I$. А если $B$ - идеал в подсистеме $W$, то все равно $B^*=B$, так как $B$ замкнуто по сложению и коммутированию.
Все равно фигня получается
Правильно?

[bnovikov]

Sonic86 в сообщении #521975 писал(а):

Если $I$ - обычный идеал, то $I^*=I$. А если $B$ - идеал в подсистеме $W$, то все равно $B^*=B$, так как $B$ замкнуто по сложению и коммутированию.
Все равно фигня получается
Правильно?

Фигня не получается: $B$ не замкнуто по умножению, поэтому $B^*\ne B$.

[Sonic86]

bnovikov в сообщении #521979 писал(а):

$B$ не замкнуто по умножению

Почему?
$B$ - идеал в подсистеме $W$ $\Leftrightarrow (\forall a \in W)(\forall c \in B) [a;c] \in B$ - по определению. $B \subseteq W \Rightarrow (\forall a \in B)(\forall c \in B) [a;c] \in B \Leftrightarrow B$ замкнуто по коммутированию, значит $B^*=B$, поскольку $B^* = \langle B \rangle$ (подалгебра, порожденная идеалом, совпадает с этим же идеалом). Правильно?

[bnovikov]

Sonic86 в сообщении #521981 писал(а):

Правильно?

Нет. В определении 2 сказано: "через $B^*$ обозначим подалгебру алгебры $A$", т.е. нечто, замкнутое по умножению (а не только по коммутированию).

[Sonic86]

А, ну значит я правильно все-таки все понял Спасибо большое. Жаль, автор не пишет, что если подалгебра, то именно по умножению (или я где-то прозевал...)
А если $B$ - идеал, замкнуто по умножению, то оно и по коммутированию замкнуто. Ну теперь понятнее будет...

[Leox]

Немного устарел Джекобсон..Советую Хамфриса

[Sonic86]

Leox в сообщении #522080 писал(а):

Немного устарел Джекобсон..Советую Хамфриса

Я запомню, но я уже этого начал читать.

Еще вопрос: гл 2., пар-ф 5, след-е 2, доказательство:
в нем есть утверждение

Цитата:

Так как $(S+R)/R$ - разрешимый идеал в $(L+R)/R$, то $[(S+R)/R;(L+R)/R]=0$

Это же явно не вывод "Так как $X$ - разрешимый идеал в $Y$, то $[X;Y]=0$". Значит автор еще что-то использует, а что еще - не могу понять