Асимптотика функции по асимптотике ее функционала (суммы)

[Sonic86]

Вопрос возник при оценке асимптотики функции $\psi (x) = \sum\limits_{p^k \leqslant x} \ln p$ через соотношение $\ln [x]! = \sum\limits_{k=1}^{x/2}\psi \left( \frac{x}{k}\right)$.

В общем: вот мы имеем соотношение $f(x) \sim \sum\limits_{k \leqslant b(x)} (g \circ \varphi \circ h)(k)$, где асимптотики функций $f,g,h,b$ известны, а асимптотику $\varphi (x)$ надо найти. Я взял явное неверное соотношение для $\varphi (x)$ и пришел к противоречию. А как искать асимптотику $\varphi (x)$ без таких предположений? Т.е. желательно попроще (а то я могу предположить достаточно общий вид асимптотики $\varphi (x)$, вычислить асимптотику суммы в общем виде и потом найти параметры, но лучше как-то через формулу).