Сумма кубов нескольких последовательных целых, да или нет?

[Ktina]

Дана последовательность, первый член которой равен
$10+10^{10}+10^{10^{10}}+10^{10^{10^{10}}}+10^{10^{10^{10^{10}}}}+10^{10^{10^{10^{10^{10}}}}}+10^{10^{10^{10^{10^{10^{10}}}}}}+10^{10^{10^{10^{10^{10^{10^{10}}}}}}}$

Каждый следующий член задан формулой $a_{n+1}=(a_n)^4$
Можно ли в этой последовательности встретить член, представимый в виде суммы кубов нескольких последовательных целых чисел?

(Студенческая олимпиада, если не ошибаюсь, города Ариэль)

[sergei1961]

Вроде формула для следующего члена неправильная?

[Ktina]

sergei1961 в сообщении #520867 писал(а):

Вроде формула для следующего члена неправильная?

Как понять "неправильная"?

Первый член - это сумма восьми "степенных башен" (power towers), состоящих из десяток. В первой башне один этаж, в каждой следующей - на этаж больше.

Второй член равен первому в четвёртой степени. Третий - второму в четвёртой степени, и так далее.

Что не так?

[sergei1961]

Понял. Скорее всего какое-то свойство делимости для суммы кубов обыгрывается.

[Ktina]

sergei1961 в сообщении #520942 писал(а):

Понял. Скорее всего какое-то свойство делимости для суммы кубов обыгрывается.

Вы на правильном пути
Почти...

[nnosipov]

Ktina, я бы посмотрел по модулю 7 на всё это дело.

[Ktina]

nnosipov в сообщении #521120 писал(а):

Ktina, я бы посмотрел по модулю 7 на всё это дело.

(Оффтоп)

Я бы тоже
Точнее, не "бы"...

[maxal]

По модулю 7 все тривиально - начальный член $\equiv 3\pmod{7}$, а все последующие $\equiv 4\pmod{7}$, но вот сумма последовательных кубов $\equiv \pm 2, \pm 1, 0\pmod{7}$.