2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сумма кубов нескольких последовательных целых, да или нет?
Сообщение27.12.2011, 12:24 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Дана последовательность, первый член которой равен
$10+10^{10}+10^{10^{10}}+10^{10^{10^{10}}}+10^{10^{10^{10^{10}}}}+10^{10^{10^{10^{10^{10}}}}}+10^{10^{10^{10^{10^{10^{10}}}}}}+10^{10^{10^{10^{10^{10^{10^{10}}}}}}}$

Каждый следующий член задан формулой $a_{n+1}=(a_n)^4$
Можно ли в этой последовательности встретить член, представимый в виде суммы кубов нескольких последовательных целых чисел?

(Студенческая олимпиада, если не ошибаюсь, города Ариэль)

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма кубов нескольких последовательных целых, да или нет?
Сообщение28.12.2011, 08:40 


25/08/11

1074
Вроде формула для следующего члена неправильная?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма кубов нескольких последовательных целых, да или нет?
Сообщение28.12.2011, 13:07 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
sergei1961 в сообщении #520867 писал(а):
Вроде формула для следующего члена неправильная?

Как понять "неправильная"?

Первый член - это сумма восьми "степенных башен" (power towers), состоящих из десяток. В первой башне один этаж, в каждой следующей - на этаж больше.

Второй член равен первому в четвёртой степени. Третий - второму в четвёртой степени, и так далее.

Что не так?

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма кубов нескольких последовательных целых, да или нет?
Сообщение28.12.2011, 14:26 


25/08/11

1074
Понял. Скорее всего какое-то свойство делимости для суммы кубов обыгрывается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма кубов нескольких последовательных целых, да или нет?
Сообщение28.12.2011, 14:45 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
sergei1961 в сообщении #520942 писал(а):
Понял. Скорее всего какое-то свойство делимости для суммы кубов обыгрывается.

Вы на правильном пути :wink:
Почти...

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма кубов нескольких последовательных целых, да или нет?
Сообщение28.12.2011, 20:36 
Заслуженный участник


20/12/10
9111
Ktina, я бы посмотрел по модулю 7 на всё это дело.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма кубов нескольких последовательных целых, да или нет?
Сообщение28.12.2011, 20:46 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
nnosipov в сообщении #521120 писал(а):
Ktina, я бы посмотрел по модулю 7 на всё это дело.

(Оффтоп)

Я бы тоже :wink:
Точнее, не "бы"...

 Профиль  
                  
 
 Re: Сумма кубов нескольких последовательных целых, да или нет?
Сообщение29.12.2011, 02:42 
Модератор
Аватара пользователя


11/01/06
5710
По модулю 7 все тривиально - начальный член $\equiv 3\pmod{7}$, а все последующие $\equiv 4\pmod{7}$, но вот сумма последовательных кубов $\equiv \pm 2, \pm 1, 0\pmod{7}$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 8 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: nnosipov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group