Неподвижные точки при аффинном преобразовани

[Dosaev]

Доказать, что если А и В - две различные неподвижные точки аффинного преобразования, то и все точки прямой АВ неподвижны.

Я начал так
"Проведем прямую через точки А и В. Проведем также прямую через образы f(A) и f(B). Т.к f(A) = A, f(B) = B, то прямые совпадают."
Можно ли после этого утверждать, что все прообразы прямой АВ совпадают со своими образами прямой f(A)f(B). Отсюда все точки являются неподвижными?

[Legioner93]

Ваше решение неправильно. Если после аффинного преобразования прямая переходит сама в себя, то отсюда никак не следует, что все её точки неподвижны.
Например простой сдвиг по направляющему вектору прямой. Или сжатие по этому же вектору.

Задача простая, поэтому лучше решить самому. Докажите такое утверждение: "Если три точки A,B,C лежат на одной прямой, то число $\frac{AB}{BC}$ - инвариант аффинного преобразования".

[Dosaev]

Legioner93 в сообщении #520873 писал(а):

Докажите такое утверждение: "Если три точки A,B,C лежат на одной прямой, то число $\frac{AB}{BC}$ - инвариант аффинного преобразования".

Ну это известно, что при аффинном преобразовании отношение отрезков сохраняется. Отсюда следует, что если точка С делит отрезок АВ в некотором отношении $\lambda$, то ее образ C* делит образ A*B* отрезка АВ в том же отношении $\lambda$. Но это же только для отрезка. А для всей прямой как? Или можно принять что так для любых точек А и В. Тогда становится очевидным что все точки неподвижны.

[Legioner93]

Dosaev в сообщении #520900 писал(а):

Но это же только для отрезка.

Можно и для прямой. А вы примените не простую теорему, а векторную. AB и BC - вектора, а не длины отрезков. Эта теорема тоже верна. Таким образом мы контролируем и знак этого отношения.
Если вы умеете доказывать это утверждение, то дальше задача решается элементарно.
Просто фиксируем две точки A и B и применяем векторную теорему для всех остальных точек C на прямой.

[vvsss]

Аффинное преобразование однозначно задаётся тремя точками. Если у Вас неподвижны 3 (А,В,А/2+B/2), то ...

[Dosaev]

У меня получается решить через координаты, но вторая точка B совсем не участвует в этом. Ну вот вкратце как я решал. Обозначил координаты точки А $(x_1, y_1)$. Записал аффинное преобразование для этой точки и приравнял к этим координатам. Затем рассмотрел произвольную точку С прямой с координатами (x, y), Записал аффинное пр-ние для нее, рассмотрел вектор АС, его координаты после преобразования будут равны:
$x^* - x_1 = a_1(x - x_1) + b_1(y - y_1)$
$y^* - y_1 = a_2(x - x_1) + b_2(y - y_1)$.
Подставил, все удачно сократилось, а точка B совсем не учавствовала...вот так

[Legioner93]

Dosaev
Напишите подробно, что у вас там сократилось и как из этого следует неподвижность точки C.

[Dosaev]

А нет, соврал, свободный член потерял, поэтому так все удачно и сократилось.