Возможна ли принципиально иная математика?

[rockclimber]

Вот в этой статье автор (ученый-биолог) делает предположение, что математика, созданная человеком, несет сильный отпечаток того, каким образом работает мозг человека. То есть некоторые задачи мозг человека решает намного быстрее (потому что это требовалось в процессе эволюционного развития), поэтому в математике развиты соответствующие способы решения задач.
Насколько это так? В качестве примера автор приводит задачу N тел. Что если бы наш мозг был устроен иначе, он бы создал принципиально иной аппарат, в котором эта задача не вызывала бы столько трудностей?
И были ли на эту тему какие-то исследования?

[serval]

Цитата:

Со времён Ньютона наука знает, как описать движение одиночного тела, не взаимодействующего с иными телами. Оно будет двигаться прямолинейно и с постоянной скоростью под воздействием силы инерции.

За такой ответ школьник получил бы двойку по физике.

[Sonic86]

Мне статья очень не понравилась Просто отвратительно!!
Во-первых, автор мыслит аналогиями очень разных объектов, причем сами его рассуждения об аналогиях содержат какие-то ошибки и неточности.
Во-вторых, терминология отсутствует, просто бла-бла-бла, за сложные термины без пояснения хочется ругаться. Воспринимать статью формально просто невозможно
В-третьих, автор прав, но совершенно не в таком аспекте, как он думает, а в более обыденном, всем нам известном, и лишающем статью всякого интереса. Математика чисто теоретически последовательно строится через системы аксиом. А с чего у нас сейчас начинается аксиоматика - с теории множеств. Однако, если взять, не усвоив даже школьного курса, Бурбаки и почитать, мы ничего не поймем, а до естественных нам областей - матанализа и евклидовой геометрии от начал идти очень далеко. А ведь наиболее естественными являются как раз матанализ и геометрия, они развились как анализ большого количества зрительных ощущений. Естественность матана и геометрии (и большое их развитие) и меньшая естественность прочих ветвей (например, диофантовых уравнений) - это как раз следствие того, как работает мозг. И все! И больше никаких левых выводов сделать нельзя. Спустя большое время, эта разница заглаживается - уже есть и "неестественные" теория множеств, теория групп, топология, алгебраическая геометрия, математическая логика и т.п. - это открывают остающиеся возможности.
Можно было бы предположить разумных подземных существ, с плохим зрением, у них бы скорее всего первыми с арифметикой появилась теория графов. Но потом бы все равно появилась алгебра, геометрия, матан, теория алгоритмов и прочее - все та же математика.
Нелепо думать, что возможны какие-то существа, которые могут решать точно задачу трех тел. Если бы автор прочел о ней повнимательнее, он бы понял, что объективным (а значит не зависящим от работы ума, каким бы изощренным он ни был) свойством решений является их хаотичность (т.е. решение сильно зависит от точного значения исходных данных), что совместно с неполнотой знаний об объекте дает невозможность точного предсказания сколь угодно большое время. Про политические предсказания - вообще отдельная тема. Все, что в жизни государства предсказуемо, все то уже более-менее описано (но я не спец - с меня чур не спрашивать ), и там также есть субъективный человеческий фактор, делающий решения непредсказуемым (хотя это маловероятно...).
Про сборку белка я мало знаю, но думаю, что автор и там лажанул.

Вот так...

rockclimber в сообщении #519587 писал(а):

В качестве примера автор приводит задачу N тел. Что если бы наш мозг был устроен иначе, он бы создал принципиально иной аппарат, в котором эта задача не вызывала бы столько трудностей?
И были ли на эту тему какие-то исследования?

Вот на этот вопрос я Вам полностью ответил, только если меня не поправят физики (а я с ними соглашусь, поскольку я не физик), потому что то, что я рассказал, я брал, если правильно помню, из научпопа - из ЖЗЛ о Пуанкаре.

И еще: вот на самой настоящей практике, я не думаю, что задача n тел - это такая суперпроблема, из-за которой космическая навигация вообще невозможна. Вполне реально вычислять положение тел в определенном периоде времени с некоторой точностью. Пока космический аппарат летит - положение тел меняется, датчики работают, положение уточняют и орбиту корректируют. Часто задача может быть аппроксимирована более простой (задачей 2-х тел). Хотя, конечно, есть вероятность, что аппарат уйдет на сильно отличную орбиту и тогда капец...

-- Вс дек 25, 2011 14:03:38 --

(эмоции)

Особенное раздражение у меня (я один такой неправильный?) вызывают фразы типа

Цитата:

Ведь реальные небесные тела (...) не производят никаких вычислений, решая, куда им двигаться! Как им это удаётся?

Вот такие вещи нужно на парах философии объяснять, да где там...

Цитата:

Если бы мы были созданы по образу и подобию Творца этого мира, можно было бы ожидать, что мы обладали бы в чём-то подобным Ему мышлением (ну, пусть более слабым, но всё же...). Если бы наша способность к логическим рассуждениям была основана исключительно на культуре, можно было бы научить человека думать и решать не так, как большинство людей, а так, как "думает" и "решает" физический мир вокруг нас.

А еще биолог! Позор!

Цитата:

Вас удивляет, что развитие квантовых компьютеров отстает от эволюции традиционных, алгоритмических? ... Проблема в том, что их логика принципиально отлична от нашей.

Автор плохо знает, что такое "логика".
Ууу!!!!

[bnovikov]

rockclimber в сообщении #519587 писал(а):

Вот в этой статье автор (ученый-биолог) делает предположение...

А где видно, что он "ученый-биолог"?

[rockclimber]

Sonic86 в сообщении #519692 писал(а):

Мне статья очень не понравилась Просто отвратительно!!

Да мне вообще его статьи не очень как-то. Когда Компьютерра издавалась, он интереснее писал, а теперь его в какие-то дебри уносит постоянно.

Sonic86 в сообщении #519692 писал(а):

Математика чисто теоретически последовательно строится через системы аксиом. А с чего у нас сейчас начинается аксиоматика - с теории множеств.

В моем школьном учебнике про это ничего не было. В вузовском тоже. Увы

Sonic86 в сообщении #519692 писал(а):

Нелепо думать, что возможны какие-то существа, которые могут решать точно задачу трех тел.

Правильно ли я понял автора, я не знаю. Я понял так, что вопрос был в том, насколько сильно биологическая сущность человека отпечаталась в аппарате современной математики. У меня лично вопросов больше нет. Я так понимаю, в математике придумали все, до чего смогли дотянуться. И обязательно будут придумывать что-то еще, не взирая на "биологические корни".

Sonic86 в сообщении #519692 писал(а):

Про сборку белка я мало знаю, но думаю, что автор и там лажанул.

Я тоже знаю мало, но откровенной лажи не вижу.

bnovikov в сообщении #519764 писал(а):

rockclimber в сообщении #519587 писал(а):

Вот в этой статье автор (ученый-биолог) делает предположение...

А где видно, что он "ученый-биолог"?

Формально - нигде. Неформально - он сам так говорит Кроме того, он печатался еще в бумажной Компьютерре, а там кого попало не печатали. С другой стороны, после закрытия бумажного журнала качество его статей упало, да и лезть в другие области он стал больше (в своих статьях на сайте).

[Munin]

Sonic86 в сообщении #519692 писал(а):

Математика чисто теоретически последовательно строится через системы аксиом.

Увы, нет. Это было такое локальное увлечение, примерно в первой половине 20 века. И уже закончилось.

[migmit]

Munin в сообщении #519902 писал(а):

Это было такое локальное увлечение, примерно в первой половине 20 века. И уже закончилось.

Ы? А можно с этого места подробнее?

[ewert]

Это всего лишь перехлёст. Имелось в виду, что до первой половины прошлого века сохранялись иллюзии насчёт того, что удастся найти некую универсальную систему аксиом, но с тех пор они рассеялись. Любая же конкретная математическая теория всё равно строится на основе некоторой системы аксиом (пусть даже и далеко не всегда явно выписываемых).

[migmit]

ewert в сообщении #520004 писал(а):

Имелось в виду, что до первой половины прошлого века сохранялись иллюзии насчёт того, что удастся найти некую универсальную систему аксиом, но с тех пор они рассеялись.

А, ну, это понятно. Я уж боялся, что аксиоматический метод отменили, а я и не заметил.

[Munin]

ewert в сообщении #520004 писал(а):

Любая же конкретная математическая теория всё равно строится на основе некоторой системы аксиом (пусть даже и далеко не всегда явно выписываемых).

Подразумевается, что там где-то есть "некоторая система аксиом", но если на них ни на этапе построения, ни на этапе использования вообще внимания не обращают, то в каком смысле можно говорить, что она "строится на основе"?

Под "строится" я понимаю конкретный процесс выработки понятий, постановки вопросов, установления фактов - то, чему математические публикации посвящены.

migmit в сообщении #520017 писал(а):

Я уж боялся, что аксиоматический метод отменили, а я и не заметил.

Прямо никто не заявлял, что "мы это отменяем". Но фактически никто в этот пыльный чулан не лазит, особенно после создания теории категорий.

[CowboyHugges]

Munin в сообщении #520125 писал(а):

Но фактически никто в этот пыльный чулан не лазит, особенно после создания теории категорий.

Извините, а причем здесь теория категорий? Мне кажется, её значимость в современной математике несколько преувеличена. Теория категория - очень удобный язык для некоторых разделов математики: той же алгебраической геометрии или некоторых разделов современного анализа. Но не более. Никаких существенно новых результатов с её помощью получить естественно невозможно, слишком высокий уровень абстракции.

К ковырянию вокруг оснований математики теория категорий тоже, ИМХО, не имеет отношения. Как ковырялись с какими-нибудь там ZFC или ZF, так и ковыряются. Просто сейчас вся эта тематика не очень популярна, в отличии от начала-середины прошлого века. Процентов для 90 математиков - это всегда было не очень интересно, они в работе не опираются непосредственно на теорию множеств. Ни разу в статье по гидродинамике не видел приписку "все результаты верны только в ZFC"

[migmit]

Munin в сообщении #520125 писал(а):

Прямо никто не заявлял, что "мы это отменяем". Но фактически никто в этот пыльный чулан не лазит, особенно после создания теории категорий.

Но существование этого чулана всё-таки является необходимым. Просто все и так примерно представляют, как оно к этому чулану сводится, и не считают нужным марать руки.

-- Вт дек 27, 2011 10:58:14 --

CowboyHugges в сообщении #520358 писал(а):

Мне кажется, её значимость в современной математике несколько преувеличена.

Кажется - надо креститься.

CowboyHugges в сообщении #520358 писал(а):

Теория категория - очень удобный язык для некоторых разделов математики: той же алгебраической геометрии или некоторых разделов современного анализа. Но не более. Никаких существенно новых результатов с её помощью получить естественно невозможно, слишком высокий уровень абстракции.

Гм. Я даже не буду обсуждать, например, теорию топосов. Но уже тот факт, что ПРОГРАММИСТЫ начинают потихоньку понимать, что занимаются именно теорией категорий, о чём-то говорит.

[Sonic86]

(Оффтоп)

migmit в сообщении #520422 писал(а):

Но уже тот факт, что ПРОГРАММИСТЫ начинают потихоньку понимать, что занимаются именно теорией категорий, о чём-то говорит.

О! Серьезно!? Почитать ее тогда что-ли...

[migmit]

Sonic86 в сообщении #520427 писал(а):

(Оффтоп)

migmit в сообщении #520422 писал(а):

Но уже тот факт, что ПРОГРАММИСТЫ начинают потихоньку понимать, что занимаются именно теорией категорий, о чём-то говорит.

О! Серьезно!? Почитать ее тогда что-ли...

(Оффтоп)

Абсолютно серьёзно. В Haskell-cafe, например, теоркатегор поминают особенно часто. В рассылке по теории категорий на mta.ca я, наоборот, встречал упоминания хаскеля.

[Munin]

CowboyHugges в сообщении #520358 писал(а):

Никаких существенно новых результатов с её помощью получить естественно невозможно

А с помощью теории множеств - можно? Имхо, само построение фразы неправильно: в математике если новые результаты получают при помощи какой-то теории A, то и приписываются они тоже к теории A.

migmit в сообщении #520422 писал(а):

Но существование этого чулана всё-таки является необходимым.

Yep. До тех пор, пока туда всё-таки кто-то ходит (по CowboyHugges: ковыряется). А когда ходить не будет никто? Предлагаю определить "необходимость" операционально :-)