Построение фактор-группы.

[Peek-A-Boo]

Задание: построить фактор-группу группы G невырожденных комплексных матриц по подгруппе H матриц с определителем, равным -1 или 1.
Делаю так:
Раз G - группа невырожденных комплексных матриц, то в нее входят квадратные комплексные матрицы одинакового размера (n на n, например), определитель которых не равен нулю.
Фактор-группа группы G по подгруппе H - множество смежных классов G по H.
Возьмем две любые матрицы из G : A1 и A2. Поскольку A1 - невырожденная и квадратная, то у нее есть обратная матрица, и ее определитель равен $\frac{1}{|A1|}$. Определитель произведения квадратных невырожденных матриц равен произведению их определителей, поэтому:
$|A1^{-1}*A2|=\frac{|A2|}{|A1|}$
Это равно -1 или 1 тогда и только тогда, когда определители A1 и A2 равны по модулю. Значит, фактор-группа состоит из классов, каждый из которых включает в себя невырожденные квадратные матрицы размера n на n с равными по модулю определителями.
Вопрос - верно ли решение?

[bnovikov]

Peek-A-Boo в сообщении #519981 писал(а):

Это равно -1 или 1 тогда и только тогда, когда определители A1 и A2 равны по модулю.

Неправильно: определители являются, вообще говоря, комплексными числами.

[Peek-A-Boo]

bnovikov в сообщении #520044 писал(а):

Peek-A-Boo в сообщении #519981 писал(а):

Это равно -1 или 1 тогда и только тогда, когда определители A1 и A2 равны по модулю.

Неправильно: определители являются, вообще говоря, комплексными числами.

Хорошо. Тогда "определители A1 и A2 равны друг другу с точностью до домножения на -1. А фактор-группа содержит классы, в которые входят невырожденные квадратные матрицы с равными с точностью до домножения на -1 определителями."

[bnovikov]

Peek-A-Boo в сообщении #520127 писал(а):

Хорошо. Тогда "определители A1 и A2 равны друг другу с точностью до домножения на -1. А фактор-группа содержит классы, в которые входят невырожденные квадратные матрицы с равными с точностью до домножения на -1 определителями."

Так. Но это еще не ответ, хорошо бы охарактеризовать факторгруппу в терминах, не зависящих от исходной группы.

Каждому классу сопоставляется пара чисел $\pm a$. Таким образом, возникает подозрение, что эти пары сами образуют группу (скажем, $K$), изоморфную нашей факторгруппе. Что можно сказать о группе $K$?

[Peek-A-Boo]

Получается, что множество таких а - множество не равных нулю комплексных чисел с неотрицательной действительной частью.

[bnovikov]

Peek-A-Boo в сообщении #520159 писал(а):

Получается, что эта группа - множество всех комплексных чисел кроме нуля?

Нет, ведь Вам нужно отождествлять числа $a$ и $-a$.

[Peek-A-Boo]

Если я правильно понял, то получается так : $G/H=\lbrace \lbrace A^{n \times n}| \det(A)=\pm k \rbrace | k \in \mathbb{C}, |k|>0, re(k) \ge 0 \rbrace$

[bnovikov]

Peek-A-Boo в сообщении #520182 писал(а):

Если я правильно понял, то получается так : $G/H=\lbrace \lbrace A^{n \times n}| \det(A)=\pm k \rbrace | k \in \mathbb{C}, |k|>0, re(k) \ge 0 \rbrace$

Нет, неправильно. Вашу запись

$$A^{n \times n},|k|>0, re(k) \ge 0$$

я вообще не понимаю. Может быть, и я виноват - не доглядел, что букву $H$ Вы уже использовали (сейчас в своем предыдущем письме заменил ее на $K$).

Ответ должен быть такой: $G/H\cong\mathbb{C}^*/\{1,-1\}$, где $\mathbb{C}^*$ - мультипликативная группа поля $\mathbb{C}$.

Ну вот, я все рассказал, теперь разбирайтесь и доказывайте.

[Peek-A-Boo]

Большое спасибо.

[Профессор Снэйп]

bnovikov в сообщении #520190 писал(а):

$\mathbb{C}^*/\{1,-1\}$

Я так понял, господин bnovikov допытывался какой-то простой характеризации группы $\mathbb{C}^*/\{1,-1\}$. Или нет?

-- Вт дек 27, 2011 22:07:23 --

Ощущение такое, что эта фактор-группа сама изоморфна $\mathbb{C}^\ast$. Или я ошибаюсь?

-- Вт дек 27, 2011 22:32:57 --

Да нет, вроде не ошибаюсь. Ненулевые комплексные числа записываются в виде $re^{i\varphi}$ при положительных $r$ и действительных $\varphi$. Причём если для двух чисел $r_1 = r_2$ и $\varphi_1 - \varphi_2 = 2\pi k$, то они считаются равными. А тут надо $2\pi k$ заменить на просто $\pi k$ и всё.

Отрезали половину комплексной плоскости, а остальное в трубочку свернули. Получили ту же самую комплексную плоскость

[bnovikov]

Профессор Снэйп в сообщении #520644 писал(а):

Ощущение такое, что эта фактор-группа сама изоморфна $\mathbb{C}^\ast$. Или я ошибаюсь?

Нет, не ошибаетесь. Спасибо за подсказку. Прозевал, каюсь.