Функан-сумма ряда из векторов

[Zidan98]

Доброго времени суток всем! Задача такая. Дано отображение из одного банахова пространства $V$ с базисом $e_i$ в другое банахово $W$ с базисом $f_i$, сопоставляющее вектору $a$ $\sum^\infty_{i=1}(a,e_i)f_i$ во втором (да, я вижу, это коэффициенты Фурье ). Вопрос в том, почему каждый вектор из $V$ имеет (корректно определенный) образ, т.е. почему ряд из векторов сходится? последовательность частичных сумм не уверен, что фундаментальна, но если это так, то из полноты пространства все и следует. Ряд из норм тоже не обязан сходиться, но если б это было, то тоже все вышло бы.

[ewert]

Zidan98 в сообщении #519904 писал(а):

(да, я вижу, это коэффициенты Фурье )

Напрасно Вы это видите: в банаховом пространстве нет понятия коэффициентов Фурье, и вообще круглые скобочки в данном контексте бессмысленны. Вообще задачка выглядит бессмысленной.

[MaximVD]

Zidan98
$\{e_i\}$ и $\{f_j\}$ - это базисы Шаудера соответствующих пространств? А $(a, e_i)$ - это координаты в соотв. базисе? (тогда это не коэффициенты Фурье). Если так, то это отображение определено некорректно. Возьмите, например, $V = l_2$ и $W = l_1$.

[Zidan98]

Да, забыл,перепутал , пространства гильбертовы, а базис -да, Шаудера. И задачка правда выглядит бессмысленной...Но я еще не разобрался как следует в последнем ответе. В любом случае спасибо.

[Dan B-Yallay]

Ну ежели пространствa $V,\ W$ Гильбертовы, а базисы - Шаудеровы, то вопрос перефразируется как "почему $l_2$ изоморфно $l_2$?"

[Zidan98]

Поставлю точку в этой теме. Пример с $l_2$ и $l_1$ не подошел таким образом-последнее не гильбертово, виноват сам, не написал все условие сразу)) Но такое отображение существует для гильбертовых пространств, хотя возможно, не единственно, ведь система в условии ортонормированная, но не обязательно базис. Для его построения заметим, что к этой самой ортонормированной системе есть ортогональное дополнение, и его надо просто перевести в нуль. Оператор будет непрерывный(т.к. ограничен на единичном шаре). Сходимость же этого пресловутого ряда из векторов (если ${e_n}$-базис) следует из того, что частичные суммы-фундаментальная последовательность, и из неравенства Бесселя. В общем, разобрался

-- Пн янв 02, 2012 22:35:40 --

В общем, если в условии базисы, то все и вправду тривиально, а если условие подправить, то решается все так, как написано выше, чуть сложнее.