Дифференцируемость, предел функции 2х переменных.

[dimagoog]

Прошу помочь с нахождением предела. Это кусок задачи на дифференцируемость функции в точке O(0,0).

Сама функция:
$f= (\sin(x)+\sqrt[3]{xy})^{2}$

Её частные производные в точке O по x и по y равны 0.
x=dx y=dy

Если все верно, то остается найти предел нижнего выражения при (x,y)->(0,0)
В данном случае судя по всему это будет 0, то есть функция дифференцируема.
Но вот с обоснованием того, что предел 0 ничего не складывается.

$\frac{(\sin(x)+\sqrt[3]{xy})^2}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}$

[SpBTimes]

А вот скорее всего нулю то он равен не будет. Например то, что
$\frac{(xy)^{1/3}}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ идёт к нулю довольно очевидно, так как:
$\frac{(xy)^{1/3}}{\sqrt{x^2 + y^2}} \leqslant \frac{(xy)^{1/3}}{\sqrt{2 \cdot \sqrt{xy}}} $

а вот у синуса могут быть проблемы, так как его малость в окрестности нуля не будет зависеть от того, насколько быстро уменьшается игрек.

[dimagoog]

Ну если я правильно понимаю, то для дифференцируемости он должен быть равен 0 или я что-то путаю и достаточно, чтобы он не был бесконечным? Просто ответ говорит, что дифференцируемость в (0,0) есть. Хотя я на него не опирался, ибо ответы нередко врут.
А есть ли идеи как найти этот предел?

[SpBTimes]

а, так там наверху квадрат - я его не видел.
Тогда уж совсем ясно.
С одной стороны больше или равен нулю. С другой стороны:
$\leqslant \frac{\sin^2(x)}{\sqrt{x^2 + y^2}} \leqslant \frac{\sin^2(x)}{|x|}$
ну, это слагаемое с синусом. Остальное оценивается хотя бы так, как написано в моём предыдущем сообщении.

[dimagoog]

Действительно несложно все совершенно оказалось...
Спасибо большое.

Непосредственно к теме не имеет отношения по сути, но 2 разве не под корнем вторым должна быть?

$\frac{(xy)^{1/3}}{\sqrt{x^2 + y^2}} \leqslant \frac{(xy)^{1/3}}{\sqrt{ \sqrt{2xy}}} $

[SpBTimes]

$a + b \geqslant 2\sqrt{ab}$

[ewert]

$f=\sin^2(x)+2\sin(x)\cdot(xy)^{1/3}+(xy)^{2/3}.$

Первое слагаемое тривиально дифференцируемо, а два других в полярных координатах оцениваются сверху как $O(r\cdot r^{2/3})+O(r^{4/3})=o(r)$ и, значит, в начале координат тоже дифференцируемы.